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2016年四川省高考数学试卷(文科)(含解析版)

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-15 22:41:50 浏览次数: 【字体:


2016年四川省高考数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=(  )

A.0B.2 C.2i D.2+2i 

2.(5分)设集合A={x|1x5},Z为整数集,则集合AZ中元素的个数是(  )

A.6B.5 C.4 D.3 

3.(5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是(  )

A.(0,2)B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 

4.(5分)为了得到函数y=sin(x+2f22f62929f3408aa050fc3b22a8b1a1.Png)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(  )

A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动249cba1873d149fc9a8bf8d9873ede00.Png个单位长度 

C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动c8260c26a47342bdacb9dfeaf064a6d8.Png个单位长度 

5.(5分)设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的(  )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件 

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 

6.(5分)已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=(  )

A.﹣4B.﹣2 C.4 D.2 

7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )

(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)

A.2018年B.2019年 C.2020年 D.2021年 

8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(  )

564efb6485724b969d24948ddf6afe2f.Png

A.35B.20 C.18 D.9 

9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2fbb8bd7e6db04b78a5972b050d242457.Png,平面ABC内的动点P,M满足|84ef1b84df49418480d4914762707674.Png|=1,d85ee46aae674cc5b610d61d691f5627.Png=2dd9b518b8b94b608b8b28c5c0278bee.Png,则|5c270a25c4c844b3a06fa087a5aba818.Png|2的最大值是(  )

A.B.225f2d1174134d16b35d19b2eea93728.Png C.6a5cc5c3f2ee42a691f2ced6d9402b3e.Png D.68fb239070bf4e10b6c471e95ce4f645.Png 

10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=167a910ff48f4ca3b2365e86328b1df7.Png图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是(  )

A.(0,1)B.(0,2) C.(0,+∞ D.(1,+∞ 

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.(5分)sin750°=     

12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是     

fcec39ff8bfa4beea686c3e61ca65936.Png

13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是     

14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f(﹣25d8f87025b640899a13d4e23e6a0da0.Png+f(2)=     

15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(fbe496d0f6d244e388a5c245a54185e8.Png1323a64f2c8a444cb9bc85bb6e43256d.Png),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:

若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.

‚单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.

ƒ若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称

若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.

其中的真命题是     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、解答题(共6小题,满分75分)

16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求直方图中a的值;

(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;

(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.

0d40264991804da592e8379ddc996bf1.Png

 

 

 

17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90°,BC=CD=c5d2cdf37507438197198051f6994f61.PngAD.

(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;

(Ⅱ)证明:平面PAB平面PBD.

34d493aca9aa4ffb8cac9b00db57a116.Png

 

 

18.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bcf0741e816645618d6e7545179e5009.Png+7880e3a94b1d422aaa7c6fbe4f8c659d.Png=67f23f12871f491cb013093b9d189195.Png

(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;

(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=5d538211a38b4aa3a58431da29e193aa.Pngbc,求tanB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN+

(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设双曲线x2b765823a78194f1797c580012e3b404d.Png=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22++en2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.(13分)已知椭圆E:89b0e649f75047c1862100af08203209.Png+aa7157aa48284d1fbf9a48e0e003e1b0.Png=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(05e6249f8da345f38a7e39c7f9941255.Pngac0c14fce30346039f04e0672880fb06.Png)在椭圆E上.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为bd69efdfbc7a4a369480494a36f3dedd.Png的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA||MB|=|MC||MD|

 

 

 

 

 

 

 

 

21.(14分)设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)=0298d31c750c48d7846f868324de2b52.Png6f59fef27ba04967918e558a7a6a5888.Png,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明:当x1时,g(x)0;

(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.

 


 

2016年四川省高考数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=(  )

A.0B.2 C.2i D.2+2i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;49:综合法;5N:数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则即可得出.

【解答】解:(1+i)2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i,

故选:C.

【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

 

2.(5分)设集合A={x|1x5},Z为整数集,则集合AZ中元素的个数是(  )

A.6B.5 C.4 D.3 

 

【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;59:不等式的解法及应用;5J:集合.

【分析】利用交集的运算性质即可得出.

【解答】解:集合A={x|1x5},Z为整数集,

则集合AZ={1,2,3,4,5}

集合AZ中元素的个数是5.

故选:B.

【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

 

3.(5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是(  )

A.(0,2)B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 

 

【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;4O:定义法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案.

【解答】解:抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),

故选:D.

【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题.

 

4.(5分)为了得到函数y=sin(x+1f4f0172da3b4e4fb149530f3abf030e.Png)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(  )

A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动1c2454e8acab4d458730450f134315d0.Png个单位长度 

C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动ffc026f2d8a441f6823dd229025280a4.Png个单位长度 

 

【考点】3A:函数的图象与图象的变换;HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有

【专题】4A:数学模型法;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质.

【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案.

【解答】解:由已知中平移前函数解析式为y=sinx,

平移后函数解析式为:y=sin(x+7f66a2b493564ddbbde5cac518bb10d3.Png),

可得平移量为向左平行移动5cb5c0f0a53a43b8aad26d60d7672b92.Png个单位长度,

故选:A.

【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键.

 

5.(5分)设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的(  )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件 

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 

 

【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;59:不等式的解法及应用;5L:简易逻辑.

【分析】由x1且y1,可得:x+y2,反之不成立,例如取x=3,y=a855c2adbf974c77a8c3104801f0e1c9.Png

【解答】解:由x1且y1,可得:x+y2,反之不成立:例如取x=3,y=df2324e3e77547c3a1de6eb6d35b6f1c.Png

p是q的充分不必要条件.

故选:A.

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

 

6.(5分)已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=(  )

A.﹣4B.﹣2 C.4 D.2 

 

【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】可求导数得到f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值.

【解答】解:f′(x)=3x2﹣12;

x﹣2时,f′(x)0,﹣2x2时,f′(x)0,x2时,f′(x)0;

x=2是f(x)的极小值点;

又a为f(x)的极小值点;

a=2.

故选:D.

【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象.

 

7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )

(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)

A.2018年B.2019年 C.2020年 D.2021年 

 

【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;54:等差数列与等比数列;59:不等式的解法及应用.

【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1+12%)n﹣2015200,两边取对数即可得出.

【解答】解:设第n年开始超过200万元,

则130×(1+12%)n﹣2015200,

化为:(n﹣2015)lg1.12lg2﹣lg1.3,

n﹣2015c87e9e06866247fea3d877dedef6b1fa.Png=3.8.

取n=2019.

因此开始超过200万元的年份是2019年.

故选:B.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(  )

a567bd8f70f244d080dcbda4661fba40.Png

A.35B.20 C.18 D.9 

 

【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;28:操作型;5K:算法和程序框图.

【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案.

【解答】解:输入的x=2,n=3,

故v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1,

满足进行循环的条件,v=9,i=0,

满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1

不满足进行循环的条件,

故输出的v值为:

故选:C.

【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.

 

9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2f7327393d0584b1fb29658f7ce6c136a.Png,平面ABC内的动点P,M满足|80f742956e494f4ebbdf073fcd308e40.Png|=1,1219fed46b4b408f8b03fd71a73d9d4f.Png=a24f3fb571064888971725e2bcdd6093.Png,则|11729d9d68ec452286b306bf4355e22c.Png|2的最大值是(  )

A.B.6d4806ccf6ca4eb7a15ba8e613d87864.Png C.b02d0ab02b494bd8b61c066dd9b377ef.Png D.0625bec6c6ba435ebe63f2840d709073.Png 

 

【考点】91:向量的概念与向量的模.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合;35:转化思想;56:三角函数的求值;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆.

【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C4ed37d4fe306460a8fea664f5d9ac7d2.Png.A15ed09a89003401387db1dde4aa1a26e.Png.点P的轨迹方程为:0fb95621ab48401bacb4c2d75505554e.Png=1,令x=8c05ce829b094f2ab070b723c0bf42b7.Png+cosθ,y=3+sinθ,θ[0,2π).又701b99fca24746a9a9ef5ad0b5f9090a.Png=fcb22ea9faf04a759f0ff79d15a692fa.Png,可得Mfe39409367fd4c5eb7d14de8fb3b4fd1.Png,代入|6e971b22bd4b4a5dbacb4895b1af4445.Png|2=741664d163d84431acd5d63904e569ac.Png+3sin089de29be59e40d489d82da01f1c4dec.Png,即可得出.

【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.

B(0,0),C395fcd92ea7f478bb3dbe77bdfd32c41.Png

A337f6f51519c47678554f7948cf1b84e.Png

M满足|80d59947334c46a4bdfd9d5e3125f882.Png|=1,

点P的轨迹方程为:3de378f406ed41bd8c0ae37c6371d61e.Png=1,

令x=77b88e15c0694bfbb47b8cf84c2a09ca.Png+cosθ,y=3+sinθ,θ[0,2π).

593c51572ab84b3c860c1da74d07847e.Png=588277ec28974f69b871c4cb5bdcf95a.Png,则Mcade1bb4ac0f41a8b8892619becce5b5.Png

∴|f69f96852dc843548a8d5d751d9858d6.Png|2=c413d7602c304d9aab53a9a2dec4ccd7.Png+f5edf8d14499481f8077e05ae6bf1656.Png=0dc13a5763f54a3c9d84fdfcdd1f7939.Png+3sin77e5ea9147b64f638547ad0b70a68298.Pngf656c8ea6ff1441ab1d3d3ac073d2475.Png

∴|dab83a98b06147e1b47937645a1648bd.Png|2的最大值是25a01ae8a1ea4955888f08317921bbae.Png

也可以以点A为坐标原点建立坐标系.

解法二:取AC中点N,MN=778cf6f5653b4a00b99d2a85a55bda01.Png,从而M轨迹为以N为圆心,6e858c137e3844bfa4b25b79e8d361be.Png为半径的圆,B,N,M三点共线时,BM为最大值.所以BM最大值为3+f0a6f287a81f451599ef83ef0735773a.Png=38a11b0ab9894806be532fd8e50ec440.Png

故选:B.

3243417d625c4e06ad0dd46c60b7dbe4.Png

【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=b592045d7294421f8c22afef24240467.Png图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是(  )

A.(0,1)B.(0,2) C.(0,+∞ D.(1,+∞ 

 

【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

【专题】15:综合题;33:函数思想;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得PAB的面积的取值范围.

【解答】解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0x11x2),

当0x1时,f′(x)=41d1c47c33df4b0ca705146039086235.Png,当x1时,f′(x)=0e3fc9914bdc458c9912923bc1a37c65.Png

l1的斜率030cb93f1cb84c3ba9363175775c7fb0.Png,l2的斜率432bb84bc84d448ab1a17539794c7610.Png

l1与l2垂直,且x2x10,

34f88ecc582c4e5e894f0d6bdb1d0747.Png,即x1x2=1.

直线l115bf5ea3d3324bb4916c6c5960ea5606.Png,l2e959ff742c22477189e0f753e2ebb2d4.Png

取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),

|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2|=|2﹣(lnx1+lnx2|=|2﹣lnx1x2|=2.

联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=6e081b966a8a4e6b9002961d428f27d7.Png

c7ff9c7c18b740f4b3e6a96f58c8184f.Png|AB||xP|=79756e3f7ab74d7497ddd7084dbd28b6.Png=44a1c6004fb1491aba963b0b47846533.Png

函数y=x+4bc9ba2b57204cbe9e64bd88e8af315f.Png在(0,1)上为减函数,且0x11,

bc28bd932379468dae4b43710a038ef4.Png,则0eb49c8ddee54cb4b3292a8b20b01569.Png

e18db0a695c24e7f97af83a3ce788481.Png

∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).

故选:A.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.(5分)sin750°= 394c9945493541bd8dc78ca909ec2eaa.Png 

 

【考点】GO:运用诱导公式化简求值.菁优网版权所有

【专题】56:三角函数的求值.

【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案.

【解答】解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=f40466e5413c4fafb103fe85ab20a47f.Png

故答案为:2e3af0ac765b48a4806cd2ef13c42c15.Png

【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题.

 

12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 c4c9cc3c73124349a6e188be350b90f5.Png 

42832e82266148288fb5eb6e78cf566c.Png

 

【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可.

【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S=5da959e09e6b4a01957f178aa58e2cff.Png=61fc6a520c60432db6d27de305c260b0.Png,棱锥的高为h=1,

棱锥的体积V=57ce204de082424591be01329a22e042.PngSh=006d315eee044af6abb9e19fa5490909.Png=de9eaaeb887f423cb8911ea7682c7de5.Png

故答案为:909e13fe2e5147b8884995082e126391.Png

【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题.

 

13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 a1bae4ad6ace4a68a0e5f95a2438db3c.Png 

 

【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.

【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数,由此能求出logab为整数的概率.

【解答】解:从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,

基本事件总数n=cb37611781c94f858a426d8794de7e60.Png=12,

logab为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,

logab为整数的概率p=85710dfa214e4ff3a56078d18460d9e5.Png

故答案为:e6db8acb89eb42e8a450d9518d1d730f.Png

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.

 

14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f(﹣fb1929afd0e1449cb056367c8244e232.Png+f(2)= ﹣2 

 

【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断;3T:函数的值.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.

【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.

【解答】解:函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x

f(2)=f(0)=0,

f(﹣2a4bc563c08641d2bbb6324b1f7ce651.Png)=f(﹣27a1b83c02f746bd9882775586091d37.Png+2)=f(﹣e84f0e120bf54e4aa55de3aa167979d4.Png)=﹣f(1f6297cb8aad47e4845730b628606950.Png)=﹣0a0fe9c037294e51b84c86d42784e4fe.Png=﹣dca6579e960d4077b6541098ddcb204c.Png=﹣2,

则f(﹣34864f75901d4e83bab38727f1aacc17.Png+f(2)=﹣2+0=﹣2,

故答案为:﹣2.

【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.

 

15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(8b2770142d504a94b7518cedc44187d1.Pngb93c859d808b4a5388b0d329c9987072.Png),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:

若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.

‚单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.

ƒ若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称

若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.

其中的真命题是 ②③ 

 

【考点】2K:命题的真假判断与应用.菁优网版权所有

【专题】23:新定义;36:整体思想;4R:转化法;5L:简易逻辑.

【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可.

【解答】解:设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0),

而A′(1,0)的“伴随点”为(0,﹣1),不是A,故错误,

若点在单位圆上,则x2+y2=1,

即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,﹣x),

满足y2+(﹣x)2=1,即P′也在单位圆上,故正确,

若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,﹣y),

则Q(x,﹣y)的“伴随点”为Q′(﹣056d830a01f54d9c9e16a630a6841054.Png96f0a31e198448f9bca9b8ab2e0f4de8.Png),

则Q′(﹣43a7a2654429463aa944da03d26e6ee8.Png2f27c562362b413685e8d1d8756fe831.Png)与P′(5fa919a0461b4258b8fd5a0adbede539.Png83f3c05fc44b45fbb3b6881444c8c03a.Png)关于y轴对称,故正确,

④∵(﹣1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y=1上,

(﹣1,1)的“伴随点”为(51a4eb1b467942cf9151ea8be6805f11.Png5a87f215b26740bcb1a765119ab090d7.Png),即(ca42396f5af94f77bb11012acc8f836b.Pngfd68bfbda51843db879f7d2adb5e36e9.Png),

(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(1ccde3bb52e34ad8aa7f75a9085a58c8.Png,﹣24639f2b2dac4dccbf1d6e41259ad277.Png),即(dfdba19973f9411b85c93fc4085e8dde.Png,﹣9f158d4d4eec4a1b98e6c660f056fae4.Png),

则(7060c25b109f4fc6ae683bb735dbdcc9.Png9bda50564fdf4d418ac1638f03ba2412.Png),(1,0),(34fb2244c2434a97995edb001f02da10.Png,﹣17951a3dda114178b8b5ff1f1c9fd220.Png)三点不在同一直线上,故错误,

故答案为:②③

【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.

 

三、解答题(共6小题,满分75分)

16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求直方图中a的值;

(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;

(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.

c91b97a3e2754d14bbbde795c999dda1.Png

 

【考点】B8:频率分布直方图;BB:众数、中位数、平均数.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;49:综合法;5I:概率与统计.

【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值;

(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解.

(Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值.

【解答】解:(I)1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5,

整理可得:2=1.4+2a,

解得:a=0.3.

(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下:

由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,

又样本容量为30万,

则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.

(Ⅲ)根据频率分布直方图,得;

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.480.5,

0.48+0.5×0.52=0.740.5,

中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x,

令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5,

解得x=0.04;

中位数是2+0.04=2.04.

【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距×8e9065a2c0204f948372d98a6f8c6bb4.Png,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.

 

17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90°,BC=CD=4f17d849b69647bf816f271aceeee4d2.PngAD.

(Ⅰ)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;

(Ⅱ)证明:平面PAB平面PBD.

718153d921a749a7ad15cd490ea3edf2.Png

 

【考点】LS:直线与平面平行;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有

【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】(I)M为PD的中点,直线CM平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则MEPA,证明平面CME平面PAB,即可证明直线CM平面PAB;

(II)证明:BD平面PAB,即可证明平面PAB平面PBD.

【解答】证明:(I)M为PD的中点,直线CM平面PAB.

b0c77258678f4ca8b51676fa0dc935b4.Png

取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则MEPA,

ME平面PAB,PA平面PAB,

ME平面PAB.

ADBC,BC=AE,

ABCE是平行四边形,

CEAB.

CE平面PAB,AB平面PAB,

CE平面PAB.

MECE=E,

平面CME平面PAB,

CM平面CME,

CM平面PAB

若M为AD的中点,连接CM,

由四边形ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90°,BC=CD=d7b32980b6764d24a3ba95e987008118.PngAD.

可得四边形ABCM为平行四边形,即有CMAB,

CM平面PAB,AB平面PAB,

CM平面PAB;

(II)PACD,PAB=90°,AB与CD相交,

PA平面ABCD,

BD平面ABCD,

PABD,

由(I)及BC=CD=19a9d8eebeee4fc594780584b588d3b0.PngAD,可得BAD=BDA=45°,

∴∠ABD=90°,BDAB,

PAAB=A,

BD平面PAB,

BD平面PBD,

平面PAB平面PBD.

【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.

 

18.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且5b4e40235e364e2790506c33288f610d.Png+45c673eee51349a9a7abcf28a9ead40f.Png=dca0d3e09da2495896a54b7eb2b17775.Png

(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;

(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=8fb26cb8f2d14b2db76b4f3189abbf22.Pngbc,求tanB.

 

【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;29:规律型;35:转化思想;58:解三角形.

【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明.

(Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解B的正切函数值即可.

【解答】(Ⅰ)证明:在ABC中,74c9b21336b1435ea91178071eaf7eed.Png+3724bca531504fa7a79757a0ce8b7964.Png=3b84c785033846008d1533da6982cd37.Png

由正弦定理得:e9bea278c3f944fdb00192769b17a2b8.Png

c6334a77536f4969b3ad55b232c0628c.Png=e09d509385584d358234782ce398b1fe.Png

sin(A+B)=sinC.

整理可得:sinAsinB=sinC,

(Ⅱ)解:b2+c2﹣a2=665441e81d7644bf9f96ce48e384743f.Pngbc,由余弦定理可得cosA=88fe836dd1654cf5a9116c85e65af7e1.Png

sinA=ac3eb54e3f0749448be80b5f95af5528.Pnga07201f31900410383b63da8ddead496.Png=1dcf7e22c8c741a88ed04066d8b66b11.Png

f71123a72fc94c26aedd29d2401c9de9.Png+e1b2f5b17a3c4ab09cc04169d18c845c.Png=b143c950cf2143578ee54fc7025b870b.Png=1,25569823b9d44525bdbf868c6027e060.Png=d03be8e0f00142a9a8aab4270c56bf96.Png

tanB=4.

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.

 

19.(12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN+

(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设双曲线x2473e9ad19cb3441a836d7e9e1057513f.Png=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22++en2

 

【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.

【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+(a2+a3),代入a2与a3的值可得q2=2q,解可得q的值,进而可得Sn+1=2Sn+1,进而可得Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得an=2an﹣1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案;

(Ⅱ)根据题意Sn+1=qSn+1,同理有Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得an=qan﹣1,分析可得an=qn﹣1;又由双曲线x2f755f0f1bb904a5ea6ec907edecda59b.Png=1的离心率为en,且e2=2,分析可得e2=5758d9f803cb412daf6853d5f779d7ea.Png=2,

解可得a2的值,由an=qn﹣1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案.

【解答】解:(Ⅰ)根据题意,数列{an}的首项为1,即a1=1,

又由Sn+1=qSn+1,则S2=qa1+1,则a2=q,

又有S3=qS2+1,则有a3=q2

若a2,a3,a2+a3成等差数列,即2a3=a2+(a2+a3),

则可得q2=2q,(q0),

解可得q=2,

则有Sn+1=2Sn+1,

进而有Sn=2Sn﹣1+1,

可得an=2an﹣1

则数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,

则an=1×2n﹣1=2n﹣1

(Ⅱ)根据题意,有Sn+1=qSn+1,

同理可得Sn=qSn﹣1+1,

可得:an=qan﹣1

又由q0,

则数列{an}是以1为首项,公比为q的等比数列,则an=1×qn﹣1=qn﹣1

若e2=2,则e2=3b14d9a1420f4019b3c3cbef303a8e32.Png=2,

解可得a2=6a0318ddc6ac4e269f1646fee2a57cf8.Png

则a2=q=62084e8c95ad4e8096b744ffead1ae2b.Png,即q=c6ed1f19ac8e4452a9633305bac57886.Png

an=1×qn﹣1=qn﹣1=(d78694d9f3754a038c67657151179c54.Pngn﹣1

则en2=1+an2=1+3n﹣1

故e12+e22++en2=n+(1+3+32++3n﹣1)=n+c5c3372a3e5e4c338534a50379c961aa.Png

【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q0这一条件.

 

20.(13分)已知椭圆E:07bbf894af7e4227a4b54fba97dc1098.Png+158e8725bf784843ad150016376341de.Png=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(2f6a5274815546948fe7704e11ee8409.Png4cb2dd7630a34f0dbeacab08bfbd376a.Png)在椭圆E上.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为fb38df61c02a46a4a3fa127f63b291cf.Png的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA||MB|=|MC||MD|

 

【考点】K3:椭圆的标准方程;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有

【专题】15:综合题;34:方程思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(Ⅰ)由题意可得a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b得答案;

(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB中点坐标,得到OM所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D的坐标,把|MA||MB|化为(0c890ca01e0a4769922458c03f3ea0e4.Png|AB|2,再由两点间的距离公式求得|MC||MD|的值得答案.

【解答】(Ⅰ)解:如图,

由题意可得bbe3291392a047fb91c9aeca9e3e99e7.Png,解得a2=4,b2=1,

椭圆E的方程为f398db534cc342e59375e5c7f1b34a79.Png

(Ⅱ)证明:设AB所在直线方程为y=02f922a0db174f5babc68e2c4afc6160.Png

联立afc9f41a871d4ad28d24e98f2a508dc9.Png,得x2+2mx+2m2﹣2=0.

∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m20,即156a141956bb4cdbb2b10797f45d1be7.Png

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

d39e22a96c1e4d3081a7cd62cf94e6a7.Png

|AB|=62eac1e6facd41bc8c0e5addc3378cf1.Png=0bd4f2e10330427aa0a5ee8c72439500.Png

x0=﹣m,20cdab6408f447a6900ed618a15eb644.Png,即M(0831534d1dcf4cf9bd2d0ac0ca19bbb6.Png),

则OM所在直线方程为y=﹣b2651f53eae24c1094cfdabef2b4c472.Png

联立eb83cd3f886341b58a601011d52b7cbc.Png,得d6f8862068764e87b5b70333f33562a5.Png782cc5a7b1914ee7b84e66529f063cc8.Png

C(﹣ca6b5fe2de264bd2b2b44eb4a7b3a79d.Png29e3264f7c984493b8d9a11a336a4507.Png),D(59f0949614c9469d97a505cfe461ec3a.Png,﹣3b96153145314193af708abf3045c9ab.Png).

|MC||MD|=c62d6d362a8b42efbb3e82e0cab9a33e.Png04e9cd4230d34abbbc178b87dbdadd70.Png

=f4b87088b59043efa823cc50587be808.Png=2b47bf78910a45d9841f6c31eccd9f97.Png

|MA||MB|=85af5b6d9db54c948a1c077183ab6b23.Png(10﹣5m2)=473cd6c4733b4c15a3f6b535740f53b9.Png

∴|MA||MB|=|MC||MD|

83f870033205457dbafcc9a32c5456a5.Png

【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题.

 

21.(14分)设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)=5c9a411489cf4d3a8a502cd9760484fd.Pnge205434c64684974b0e7e8ad5942e5be.Png,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明:当x1时,g(x)0;

(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.

 

【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断;6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有

【专题】15:综合题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)要证g(x)0(x1),即36fa70d015a74ab8be20643dc2c2f50c.Pnge9c3669191614b9c941500285d71b56e.Png0,即证b43b3b89bf4042d19fd8e22e47be9793.Png,也就是证144059a7dde34d4792a527c48601d21d.Png

(Ⅲ)由f(x)g(x),得616c924a095a40b6a4bdc1a1cd192fc1.Png,设t(x)=19882071b6044ed28f8179a07fbfb9f9.Png,由题意知,t(x)0在(1,+∞)内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围.

【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得f′(x)=2ax﹣957e074886fc4d7c94a51027597432ff.Png=44681ba78c804ba8b0b67722db09b49a.Png(x0),

当a0时,f′(x)0在(0,+∞)成立,则f(x)为(0,+∞)上的减函数;

当a0时,由f′(x)=0,得x=fd1e7ca2de4e4325868e200525e16488.Png=a6009e3dbddd48f2b6565da8573e4413.Png

当x(0,59de0e0a7ff0401ba0899326cebf1ef8.Png)时,f′(x)0,当xb0db310f282f4db0a24bb674128853be.Png+∞)时,f′(x)0,

则f(x)在(0,8216c75c635b4209b9db8f6170c55a9e.Png)上为减函数,在(8ddad5774df74ab5af312ca9d097d620.Png+∞)上为增函数;

综上,当a0时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,当a0时,f(x)在(0,03ada059eec040c8bd1435c67a8b43fc.Png)上为减函数,在(d54e45be346c4b8d8e1543a11098c513.Png+∞)上为增函数;

(Ⅱ)证明:要证g(x)0(x1),即b065703b060640c3958e53a35c3c9a37.Pnge2d866cfaefb4c619fa3b593d60561f5.Png0,

即证3de4c816713d4b3f9f4121df3de10684.Png,也就是证b07ad30987a84eaa996361b355c892f8.Png

令h(x)=b104d3422b3748b3b4e2d0ced6e27d76.Png,则h′(x)=6e72d146f836482383f98c8dc057698f.Png

h(x)在(1,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(1)=e,

即当x1时,h(x)e,当x1时,g(x)0;

(Ⅲ)解:由f(x)g(x),得24cd6ee3e0ac4d2fbf30627ceb33f97c.Png

设t(x)=b73ad2bce3ef48e1af35a458463942ed.Png

由题意知,t(x)0在(1,+∞)内恒成立,

t(1)=0,

有t′(x)=2ax8b72120af11645db96a5eab651d23325.Png=275b7b85a16b4ccd89e8de00f499894e.Png0在(1,+∞)内恒成立,

令φ(x)=cce21e40144c4c8a8bf2d27e18f816c5.Png

则φ′(x)=2ad5bea6a6284b4d748abe3ab626c93aba.Png=c232670183da42e49aa59029b5461483.Png

当x2时,φ′(x)0,

令h(x)=deacf6d24d834ed48d63d1df5719010d.Png,h′(x)=ad30fdd606c24d94ad5874fb5568ed59.Png,函数在[1,2)上单调递增,

h(x)min=h(1)=﹣1.

e1﹣x0,1x2,φ′(x)0,

综上所述,x1,φ′(x)0,φ(x)在区间(1,+∞)单调递增,

t′(x)t′(1)0,即t(x)在区间(1,+∞)单调递增,

由2a﹣10,

a9597716004a7448ab71b93ac390358d2.Png

【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键.

 

来源: 四川省地方志工作办公室
责任编辑:何晓波
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