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2018年全国普通高考 理科数学试题及参考答案

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-31 12:26:39 浏览次数: 【字体:



2018年四川省高考数学试卷

(理科)(新课标Ⅲ)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x|x﹣10},B={0,1,2},则AB=(  )

A.{0}B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 

2.(5分)(1+i)(2﹣i)=(  )

A.﹣3﹣iB.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 

3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )

cc5d3ff822f84c4fb190b53153b0d6f6.Png

A.B.c7c07105a3ab4b0282c7ccfa99c25fc4.Png 

C.D.b1ccca4a773b4de6ae32a1534ce4ab2b.Png 

4.(5分)若sinα=2badb7632e504216a44b65f5d0c2623e.Png,则cos2α=(  )

A.B.ac3a869f305a4df49556b30f7de613f5.Png C.﹣dd9ad3786a23482a94af54fdabe3af94.Png D.﹣47df916a67e34c398d9b30804b0d7b3c.Png 

5.(5分)(x2+53250e57b38a4946a1ced8d78a07b59d.Png5的展开式中x4的系数为(  )

A.10B.20 C.40 D.80 

6.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是(  )

A.[2,6]B.[4,8] C.[5f328484b4db4b0e86eb6128d961a78b.Png,3a7473a55673f4eae9d2e01f6143f52fc.Png] D.[2b9e44fb0465d44baa6e37c1f479c3b32.Png,30be042f186d14a6a9fcc8e196fb21094.Png]

7.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为(  )

A.B.163de73e2135489e81585b9c9024aab0.Png 

C.D.65a083529f804fef9af386a5d5900494.Png 

8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)P(X=6),则p=(  )

A.0.7B.0.6 C.0.4 D.0.3 

9.(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为1509ff61ee0e440fb37b8abc1ebe53be.Png,则C=(  )

A.B.bac05a27b3ff4f5c83d85f05ac43b63f.Png C.b0399942420d4f418d6c8788aeba249c.Png D.047990bc87c443afaafdb5571b56e181.Png 

10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且面积为9d2b166080a6b4742afa634ee038e715c.Png,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为(  )

A.12B.18bbbc9c82d33442e0ae0fb54d99822ea1.Png C.242a61e1d73cb44382992c50cfa082902b.Png D.5458be9ed3123940feaf074fd8c6abe625.Png 

11.(5分)设F1,F2是双曲线C:caa7b47db98143e488e77124e3d78d58.Pngfd52257d9131400084635e9ec6427409.Png=1(a0.b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=6b514d10094b4b0395b78f55374dcfee.Png|OP|,则C的离心率为(  )

A.B.2 C.b5af2a46cd0b4acab24e523ee61ecee4.Png D.06155fb9d3ea41a5a9fc2d31cae04f4b.Png 

12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(  )

A.a+b<ab<0B.aba+b0 C.a+b0ab D.ab0a+b

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)已知向量34e497457bac4b498101610666850d95.Png=(1,2),9df256f495044fd1b26e730a99758968.Png=(2,﹣2),3632baae9c5d46059ccc5ae2309f8f29.Png=(1,λ).若3e684e905a8245049fff7d39f85a1133.Png(2ddf6ac41565640d28e4e4919790b2bf9.Png+3a40869c611042f4b9716eaa1df1a9fc.Png),则λ=     

14.(5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a=     

15.(5分)函数f(x)=cos(3x+03e5835440b14491bf77fc355e2ea1b3.Png)在[0,π]的零点个数为     

16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90°,则k=

     

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

76348597e943489f8cb4fd8387ecb7d1.Png

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

 

超过m

不超过m

第一种生产方式

 

 

第二种生产方式

 

 

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=e8bd343a33c345d7b81e3c2d13a19f4a.Png

P(K2k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧21d8dac0da7e41c2956e736eb1ff96ae.Png所在平面垂直,M是4c785d5cf83f42fd9f60617b4820aa20.Png上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD平面BMC;

(2)当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

90087ba5cc884d83a4cef6d729a992b0.Png

 

 

20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:18b26b2db9e0405c96c1d425e7c06c90.Png+5912586c20064fb289e2380861b4cd75.Png=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).

(1)证明:k52550a9de06a4187b172e6d2231e4ece.Png

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且7d2f69bc449f484298792d990870c15c.Png+fdfabdd7e5204fd09050cabd6ae42f9e.Png+62c75b82a26e4489a73cf0e5c9310d5f.Png=ebf5ee666a1d44ff8c9492b57c8d61cc.Png.证明:|8845515afb904f4cb369f8929a11d28e.Png||83ed0f966c7d42a59c62bd85beb9b710.Png||076314f9e1ba4b069275f8123b08f90c.Png|成等差数列,并求该数列的公差.

 

 

 

 

 

21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.

(1)若a=0,证明:当﹣1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

 

 

 

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为2e7a25bc040f425ea5d3fac9c176760f.Png,(θ为参数),过点(0,﹣bde12875116b490d865237ce059b648b.Png)且倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

 

 

 

 

 

 

 

[选修4-5:不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.

4cb3e1d00c5b44dd956714f76c62ecdc.Png

 


 

2018年四川省高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x|x﹣10},B={0,1,2},则AB=(  )

A.{0}B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 

 

【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有

【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合.

【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.

【解答】解:A={x|x﹣10}={x|x1},B={0,1,2}

AB={x|x1}∩{0,1,2}={1,2}

故选:C.

【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题.

 

2.(5分)(1+i)(2﹣i)=(  )

A.﹣3﹣iB.﹣3+i C.3﹣i D.3+i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i.

故选:D.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.

 

3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )

6cd1efb140484eee8223ff269cebc5b1.Png

A.B.e7c19e337e80443595e2d173008d9ee7.Png 

C.D.1e84aa66f772498390f01b47b9494c41.Png 

 

【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.

【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.

3022a0b7374f4718b3cf6b952acf85c0.Png

故选:A.

【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查.

 

4.(5分)若sinα=c7ef666777f84e1998f3f32d9304579a.Png,则cos2α=(  )

A.B.3362bf363edd465bb31bc3f20365f439.Png C.﹣e11a88d495854f63ab474fd8ca0c2893.Png D.﹣5e3aa7b705af451d81f4f1410df38c14.Png 

 

【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;56:三角函数的求值.

【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果.

【解答】解:sinα=a6b0063e9681499c8cd9ef5a69ac2eae.Png

cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×acd68372c47d40609f15d2b778693008.Png=f81485282d36476593750ec997faf774.Png

故选:B.

【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

5.(5分)(x2+917ed0af211844368579d2e3e75152d0.Png5的展开式中x4的系数为(  )

A.10B.20 C.40 D.80 

 

【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5P:二项式定理.

【分析】由二项式定理得(x2+2f073ecbebc545a28fe71cd0cdc07127.Png5的展开式的通项为:Tr+1=3288b3c58aa846c2b159c6f273b93269.Png(x25﹣r4dd438c1978d43cebe01c70eef244e27.Pngr=41af1649d7c34f0d8bf90e6657e96f46.Png,由10﹣3r=4,解得r=2,由此能求出(x2+4ad53eaa248e47459517332508a2b6df.Png5的展开式中x4的系数.

【解答】解:由二项式定理得(x2+1dfd5e6bde814e129a4c12f02e782eb9.Png5的展开式的通项为:

Tr+1=7d41b78e865f4b06ba5ca66107370d6d.Png(x25﹣r8eb9bc8efc454c978c04aee8412736cc.Pngr=df5c6efb10894c629a66734c63af1180.Png

由10﹣3r=4,解得r=2,

(x2+b2398795ba504db09c2c807942cf009a.Png5的展开式中x4的系数为f79fbe17266f488da627d9c997dd904b.Png=40.

故选:C.

【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法,考查二项式定理、通项公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

6.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是(  )

A.[2,6]B.[4,8] C.[ea721136cec541b6a81d05dd6ae5b2da.Png,34598d9fc668f4b7999cfb2914e20330c.Png] D.[2ad9c089b285942079775e8aeddb4110b.Png,392e75cbc456046c68a74f5ee02f5411d.Png] 

 

【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆.

【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2092b885f939548e88a8144d39e5ad94e.Png,设P(2+365282b4620242a88386e400c65a684f.Png0713907461894ed3a6ab38952b5e939c.Png),点P到直线x+y+2=0的距离:d=f0967c4bf6ee41099d28ea72c46d1918.Png=ec6b7fb225f44b728b9704df92c6ecdb.Png[cd66851f6ce34670aa81a2b1c3c6b2d7.Png],由此能求出ABP面积的取值范围.

【解答】解:直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,

令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,

A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=93596df9846d491a96f6a211e645212f.Png=2074bd5918a844b25bb725d4597f4be17.Png

点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,设P(2+397028e75ab54b77abe0923ce6ddca15.Pnge31a1ee022c949c2a11e1c765405a491.Png),

点P到直线x+y+2=0的距离:

d=c9997eac4d9d4c1c9e84c11bc6b21e8d.Png=e5779cd2eceb49f79fcab9294449507a.Png

sin(a20b215f961844bb9ffa8806ee777724.Png[﹣1,1]d=5232ba9476c3460a81fa11d90eb2591a.Png[847254112e434509bd38fc8e1ace3427.Png]

∴△ABP面积的取值范围是:

[5b281f8d9f294bae9eb3f4d453320c63.Png6fa85d6156c14eecaec566aaa51d769f.Png]=[2,6]

故选:A.

【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

 

7.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为(  )

A.

B.

C.

D.

 

【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.

【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.

【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.

函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),

由f′(x)0得2x(2x2﹣1)0,

得x8abd6d0c1f194af7b139e66a939f59bf.Png或0xf226168a0c92483b84f7e2fcc5bce453.Png,此时函数单调递增,

由f′(x)0得2x(2x2﹣1)0,

得x5fa4bb3ceb8d434eb6216d9ae855b4d5.Png或﹣30a07f17d32e4231858e7749ab42dbaa.Pngx0,此时函数单调递减,排除C,

也可以利用f(1)=﹣1+1+2=20,排除A,B,

故选:D.

【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键.

 

8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)P(X=6),则p=(  )

A.0.7B.0.6 C.0.4 D.0.3 

 

【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.

【分析】利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可.

【解答】解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足XB(10,p),

P(x=4)P(X=6),可得913a0a155b374721b067437c0e0a7cee.Png,可得1﹣2p0.即p66cc39e873f1484c83f388ade4515f90.Png

因为DX=2.4,可得10p(1﹣p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).

故选:B.

【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化思想以及计算能力.

 

9.(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为bdc8b9f93ff04a8abf51a330a2b604ba.Png,则C=(  )

A.B.80c6636c7601432b8375a3b3fe789d57.Png C.5d5c582a065243ca9cb77bd10ccedca7.Png D.5d28e507889047c7a28010ee757eeab0.Png 

 

【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.

【分析】推导出SABC=de55ded452c8416abbaecae9427d2a7e.Png=6a8abb8d1b154b248b620a0939152113.Png,从而sinC=23dc124bac5043c3bc097535bb78750d.Png=cosC,由此能求出结果.

【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

ABC的面积为ad11d79c6f564e3cbb3526597da38587.Png

SABC=711fc52b6c3a43a78ea3862971885da7.Png=c9b7c1ae52364026b98cb4cfb2a7cc15.Png

sinC=c77ff1daffcf4d8facb163f20abfcc10.Png=cosC,

0Cπ,C=d11fdb2bec31423b807d505290b72af3.Png

故选:C.

【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且面积为9815ba02b87794e89b62197cb0b11b5a3.Png,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为(  )

A.12B.18f8621acb15b5447aa25d6abb9d41e63c.Png C.24911163ed64614c05b11977233f84fd8d.Png D.54086ce69851754dccb497b9b0bf3dfb83.Png 

 

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】求出,ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.

【解答】解:ABC为等边三角形且面积为9a9858db79dc3403aaf0762aabc164693.Png,可得900ab30de8974c0581bbc4e1fc7c8a1e.Png,解得AB=6,

球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:

O′C=45791b9d33364e3db46a4ff7667f3c77.Png=cf8ca78e31024d43a350b03a240a7fca.Png,OO′=251f170acf254dd6aef91b04f36d005a.Png=2,

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:7404d7a1fab34e5b9b2d884d108146c5.Png=18e3150cd62f2f4da5a298964d9ee58025.Png

故选:B.

89d5da85886a42859b7f0ec37c6c6fcb.Png

【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

 

11.(5分)设F1,F2是双曲线C:f711203585b34db8bce3a94c1f6a088a.Png054dbdd46c1e4c50957fef60af0f8021.Png=1(a0.b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=28acf5af790142718a7d88e5546d5dfa.Png|OP|,则C的离心率为(  )

A.B.2 C.6a48a3eb384743359479f76ca1b8d38e.Png D.0b59a0bbf6c54cee9101b184728167f1.Png 

 

【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b,再求出|OP|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2||F1F2|cosPF2O,代值化简整理可得98760f45920a49a5bc69b20ea8e9256e.Pnga=c,问题得以解决.

【解答】解:双曲线C:e155e2c4316c40a5a8fc4e0e81595768.Png822fd860a1a240d1b9d756b56816f420.Png=1(a0.b0)的一条渐近线方程为y=19888273410a4820863c347df56f87e0.Pngx,

点F2到渐近线的距离d=85cd16a0232541bfa8a5e0c8b127a525.Png=b,即|PF2|=b,

∴|OP|=888d9839baf3496683ce7f8033cb1384.Png=f5ae0d6747814b05a38e9c5669cf32b0.Png=a,cosPF2O=6cf5d2c105884232ad2c8a04ac20b32c.Png

∵|PF1|=1b581b715ea1433c939f0e95b85e0b8d.Png|OP|

∴|PF1|=87a81168380f466385723c6e7d8d054f.Pnga,

在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2||F1F2|COSPF2O,

6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×12db6672ea354fdead21e1c2470a2f5e.Png=4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2),

即3a2=c2

1923673e0ce849a58cd02a3b77b75eb1.Pnga=c,

e=df3e22057bb44afdba74c2bd1e107a67.Png=cc770bc285a7444bab7183532c6f3fa0.Png

故选:C.

【点评】本题考查了双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,余弦定理,离心率,属于中档题.

 

12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(  )

A.a+b<ab<0B.aba+b0 C.a+b0ab D.ab0a+b 

 

【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有

【专题】33:函数思想;48:分析法;51:函数的性质及应用.

【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.

【解答】解:a=log0.20.3=09742f3ebe6544baa1e3686451a116ed.Png,b=log20.3=fea4314cffbb49e68f6903e0f2fc0071.Png

cc4df201d9be4236a13483f3a8ea427d.Png=a57ab978ba0e4f62ab09003114a0a1e1.Png

3cb34ded8e784f6e965a74f901432c02.Png

25d7ac34bfd444b2a86ee8dc8ab5a1ee.Png0e4b698bf9124318ac6564dbc66cfb6c.Png

aba+b0.

故选:B.

【点评】本题考查了对数值大小的比较,考查了对数的运算性质,是中档题.

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)已知向量8e93ba0235ff493c94f1f9b99abe8203.Png=(1,2),8b981c760d0946c6b47c7298c08cb1a3.Png=(2,﹣2),e13cc942d2ae400b90d71f5c4718301e.Png=(1,λ).若be0b94eaa69346be9ec3b40cb1c70bde.Png(2b0c6224a7cb741aaa473dfd3c47b2c64.Png+3f1b4d11465a4fea8fa453df460e1b78.Png),则λ= 8ca7da7a19ba42adb4ba4023cdd116dd.Png 

 

【考点】96:平行向量(共线);9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.

【分析】利用向量坐标运算法则求出681939243cd745d682c44c213b470aa9.Png=(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.

【解答】解:向量0954341cf05240dbabfba9404dd2033d.Png=(1,2),73d1f4ba85d944e492c3475379840eb5.Png=(2,﹣2),

637d428526e148acaf4e32c76c3214e4.Png=(4,2),

292392ee79b84332a4237acece417000.Png=(1,λ),d92bac169e19460bafdb6b228aeaed3c.Png(269a197a87a364bb1bc9ff57af089dcad.Png+8026eaa75aff4b748db590c3fe72e131.Png),

64f0ca1a3e0247ed9943cdcff60bb421.Png

解得λ=89be4477d384403688bea38a55f7c2da.Png

故答案为:58923d81245f4a8bad0ef6ef77a1bb21.Png

【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

14.(5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= ﹣3 

 

【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】球心函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可.

【解答】解:曲线y=(ax+1)ex,可得y′=aex+(ax+1)ex

曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,

可得:a+1=﹣2,解得a=﹣3.

故答案为:﹣3.

【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法,考查转化思想以及计算能力.

 

15.(5分)函数f(x)=cos(3x+3dbe6818bb41403e81f9e2433cadeb1c.Png)在[0,π]的零点个数为 3 

 

【考点】51:函数的零点.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质.

【分析】由题意可得f(x)=cos(3x+9fbaf80379ed4721bad4acbbc77047b8.Png)=0,可得3x+10f8468c9ad04703a4d437068a0b9bed.Png=5f3719ab06bf40b189b36003be1a1776.Png+kπ,kZ,即x=11707e8493e7427489d0104c64055580.Png+85c9c71702d044e080cb6408efc1dd23.Pngkπ,即可求出.

【解答】解:f(x)=cos(3x+70fa9f92bf454d9986ed5c4d1580fb32.Png)=0,

3x+c747f28ba0094e9d9151adbebcf29294.Png=42a4946d95584144bf967db8aa21d3ac.Png+kπ,kZ,

x=21a5a304dfb74deba64c19d5b425179f.Png+7f4d1976aa084277b44735ce2e749615.Pngkπ,kZ,

当k=0时,x=0671bf77134843048b0b212682a7c7cd.Png

当k=1时,x=90296151dd5c433db6a99d6531a43e0d.Pngπ,

当k=2时,x=a6bb396a1ccf4bfa995d7052ca15f955.Pngπ,

当k=3时,x=edd3aab6d3754b3b9e5c03f7b72dd266.Pngπ,

x[0,π]

x=172a5df3a3d147a09f27ea5e72c87755.Png,或x=a549b288e9e0400184174d98644b92bd.Pngπ,或x=c70073361f3c42ae9d9b394540e44dff.Pngπ,

故零点的个数为3,

故答案为:3

【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题,属于基础题.

 

16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90°,则k=

 2 

 

【考点】K8:抛物线的性质;KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),然后联立直线与抛物线方程组可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由AMB=90°,向量的数量积为0,代入整理可求k.

【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),

过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),

联立f31269e53f2641338507f0bde4b8154d.Png可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=355a63bbd097400dba3a26199c6260fa.Png,x1x2=1,

y1+y2=k(x1+x2﹣2)=68f83664090e4783bf83ed50314278bb.Png,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2+1]=﹣4,

M(﹣1,1),

6f24b0fa8079437c837d22e6fe20059e.Png=(x1+1,y1﹣1),450d02955db34cc8bb1c57840a513e8f.Png=(x2+1,y2﹣1),

∵∠AMB=90°,e5bcd4762b8548f5b6d97dc49dd65596.Png514c705c141247e4bcb0b3886c954e77.Png=0

(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,

整理可得,x1x2+(x1+x2+y1y2﹣(y1+y2+2=0,

1+2+59e661ca8d9243bda990a6524db0e1bd.Png﹣4﹣3387a07dfeef4144b61d69c06299a917.Png+2=0,

即k2﹣4k+4=0,

k=2.

故答案为:2

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题具有较大的计算量.

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

 

【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.

【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.

(2)当a1=1,q=﹣2时,Sn=bc43c5eeb75d46beaa545b12423698dd.Png,由Sm=63,得Sm=8d5699d057c84a86baa025cd94c54773.Png=63,mN,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n﹣1,由此能求出m.

【解答】解:(1)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3

1×q4=4×(1×q2),

解得q=±2,

当q=2时,an=2n﹣1

当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1

∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1

(2)记Sn{an}的前n项和.

当a1=1,q=﹣2时,Sn=72ff8d4e920d4d85882648fc0a2ade92.Png=8620b77431834d059f2f1383de548a45.Png=906d4e511e69425583d08030cb427a98.Png

由Sm=63,得Sm=1c76f6a675f248f785d2a1ba0638a8cb.Png=63,mN,无解;

当a1=1,q=2时,Sn=c089c6d8708a4fc982a2bb2ea487181a.Png=8842865c6cda485dbb6f7fb298cb3ccb.Png=2n﹣1,

由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,mN,

解得m=6.

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

 

18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

4aa29e0ac3524812a74daa0a857f86d0.Png

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

 

超过m

不超过m

第一种生产方式

 

 

第二种生产方式

 

 

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=6bad147a0eca4227bb80d30dff124ddd.Png

P(K2k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

 

【考点】BL:独立性检验.菁优网版权所有

【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计.

【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;

(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;

(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.

【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,

第一种生产方式的工作时间主要集中在7292之间,

第二种生产方式的工作时间主要集中在6585之间,

所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;

(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,

排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m=0f006e660ea547ae89743d917b178be0.Png=80;

由此填写列联表如下;

 

超过m

不超过m

总计

第一种生产方式

15

5

20

第二种生产方式

5

15

20

总计

20

20

40

(3)根据(2)中的列联表,计算

K2=356513d48b564871b4ce3f3f597776fd.Png=b6284fa1f9cf471d8dab5727c7d843ef.Png=106.635,

能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.

 

19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧f3b416c8b8e549e59c30fa4f4d202cea.Png所在平面垂直,M是4fb5b5bd79054a158f2db4e8ac81f9ec.Png上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD平面BMC;

(2)当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

15a88608adc64e94a7f79428b8504eae.Png

 

【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;4R:转化法;5F:空间位置关系与距离;5H:空间向量及应用.

【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明MC平面ADM即可.

(2)根据三棱锥的体积最大,确定M的位置,建立空间直角坐标系,求出点的坐标,利用向量法进行求解即可.

【解答】解:(1)证明:在半圆中,DMMC,

正方形ABCD所在的平面与半圆弧ddddd47fe38d458d8766f1243af9c4a0.Png所在平面垂直,

AD平面DCM,则ADMC,

ADDM=D,

MC平面ADM,

MC平面MBC,

平面AMD平面BMC.

(2)∵△ABC的面积为定值,

要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,

此时M为圆弧的中点,

建立以O为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系如图

正方形ABCD的边长为2,

A(2,﹣1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),

则平面MCD的法向量c489712a9bbe49bcbd1a8b30518193cc.Png=(1,0,0),

设平面MAB的法向量为281e098afcb9487a8b91070a5c356fe4.Png=(x,y,z)

e64f267143ca48498cd8cb5c23b7dba9.Png=(0,2,0),25ad110b21054a9eaba16274bb65bc98.Png=(﹣2,1,1),

43cfb10aa68b43208ed4cc2ddf86fea2.Pngb9ef740f843a432e88b4a9900017064d.Png=2y=0,302a93bf56e14faa8216481ef843790a.Png36c96ff9a2544e5da5876db282ee143a.Png=﹣2x+y+z=0,

令x=1,

则y=0,z=2,即ab7abff5018a47ce8e7c457da7d3c76d.Png=(1,0,2),

则cos00695c92b280407e81af08c956c9fb22.Png012d8f2ccbfc4278bda440e987870a5e.Png=310fc5add4624f8fa997536d3bf04c03.Png=0ed042bddf0b448b859d875a7122a6b8.Png=908c511a8a3f418894888630810a81bb.Png

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=f8dfe91a5c50491981681a8d4a587445.Png=b5943ba646114e50bee9c5d039913176.Png

647d478824ad4e15b50ca4c8448af499.Png

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解,利用相应的判定定理以及建立坐标系,利用向量法是解决本题的关键.

 

20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:53fc5152a0024c85ad53b9d16aa16be0.Png+fb9c9616fe0a4b56b9abeac1aac3f63e.Png=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).

(1)证明:kcb604ad8110948d7946e56d3a24ecf9c.Png

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且a0b10d5b660a4648ada1e7dfb070ef9d.Png+99df8f6d69f943cd9aba25440c3004ab.Png+47652a37efb5496e83fa8002bb26f1c0.Png=b6b29b4e4b4444908c836db6db916857.Png.证明:|c5d4bee09fbb41b59649d0b227025421.Png||21a98a44e4e840329a0f382289061daf.Png||64d1d159768546a1b8f821d9bedf548b.Png|成等差数列,并求该数列的公差.

 

【考点】K3:椭圆的标准方程;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1﹣x2+8m(y1﹣y2)=0,k=ee76322bd7f54bceacad395749858fe3.Png=﹣60653f155a244104b1238e30fd30d04b.Png=﹣33c4ef82ca3f4f0e8a1590d0c8dbe66c.Png

又点M(1,m)在椭圆内,即ad943d638efa4ca4aaa67cae9ab92108.Png,解得m的取值范围,即可得k54819585e3c24ca09d56abb5edcf13f4.Png

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得x1+x2=2

84acddcec5604a908074b6f4839ff5fc.Png+4522b8687ae34fe6b8fd1f3630527c45.Png+dd6b5ea287744d2981f11d226e33cd03.Png=42500b5fe37847258abc429707ecb126.Png,可得x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣035d5616b4554771a8561ab44e8098ce.Pngx1|FB|=2﹣cbabb2f45bc14e9788b26ad33038a804.Pngx2|FP|=2﹣59aa80f6c2cb4301ba9e15f15d3b6591.Pngx3=efeef4c9b5294e0d8932d6b4308b101b.Png.即可证明|FA|+|FB|=2|FP|,求得A,B坐标再求公差.

【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),

线段AB的中点为M(1,m),

x1+x2=2,y1+y2=2m

将A,B代入椭圆C:28f730944dc64c1a964cbfc8384b83a9.Png+a075089afee44134b06d472af21a1e48.Png=1中,可得

ce446d828d9943e5b5230036c5498c5a.Png

两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

即6(x1﹣x2+8m(y1﹣y2)=0,

k=ee87265d523f4857bb0e07f34d842878.Png=﹣62aa39ea31e7453faa1f35ccab60cec9.Png=﹣0ef0bfe5ca584be7a6ca64d3108d92dc.Png

点M(1,m)在椭圆内,即f458b43049cc454b978a78f9cad97bf7.Png

解得0m8f9956e580a44a479576590ed1a4dc98.Png

5c6fd7d4110a40d6a10ab8b62863cb34.Png

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

可得x1+x2=2,

705d9e2a7e4d498d9eea663f239ec7af.Png+15bd18fe1dbd4caa9159f9251ee219ae.Png+60c2321d175f4005aaaed4b7556239cb.Png=1878beb9233749d0bb03ff07c4ffb6f2.Png,F(1,0),x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,y1+y2+y3=0,

x3=1,y3=﹣(y1+y2)=﹣2m

m0,可得P在第四象限,故y3=﹣ce9ba63c90c04361afb8c681d3376589.Png,m=be3335f12efc40a0b11f915ae294d7be.Png,k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣47a1e778a1024242b0efbedb5517261a.Pngx1|FB|=2﹣b92ad6bfde8a4c4c9b752c40249f7a43.Pngx2|FP|=2﹣3613674d0c744eab94967685768fda00.Pngx3=3585ba1be31e409fb9ee91267d61fba7.Png

|FA|+|FB|=4﹣24b17eeaeb744cc6a4ebbffda8987844.Png∴|FA|+|FB|=2|FP|

联立3ba1758201ef4c01b4516b8fdce97481.Png,可得|x1﹣x2|=48be711f1ca442aaaa4828900b30f789.Png

所以该数列的公差d满足2d=b87be7aaff8d40f78b8d913dab7f0c2a.Png|x1﹣x2|=6afdcd2d740a412b9960ebcacd52323b.Png

该数列的公差为±5cb633bd8620436d8a267a4ea45ffee7.Png

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题.

 

21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.

(1)若a=0,证明:当﹣1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

 

【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;35:转化思想;48:分析法;53:导数的综合应用.

【分析】(1)对函数f(x)两次求导数,分别判断f′(x)和f(x)的单调性,结合f(0)=0即可得出结论;

(2)令h(x)为f′(x)的分子,令h″(0)计算a,讨论a的范围,得出f(x)的单调性,从而得出a的值.

【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x﹣1).

46935953322341fe9ea6378d1d226fd4.Png6d49fe97bb454d839a09c07ebc0746a6.Png

可得x(﹣1,0)时,f″(x)0,x(0,+∞)时,f″(x)0

f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增,

f′(x)f′(0)=0,

f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.

当﹣1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0.

(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得

f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+971588ce064f45f6bd19731a880e6ee4.Png﹣2=4e80c534aa4243e38ad7348e3ae6822a.Png

令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),

h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).

当a0,x0时,h′(x)0,h(x)单调递增,

h(x)h(0)=0,即f′(x)0,

f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.

当a0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+8c2ec00a3b7c4cfcbd3155b0dc21a396.Png

显然h″(x)单调递减,

令h″(0)=0,解得a=﹣0286faa0f8694377afa2dba645bf261f.Png

当﹣1x0时,h″(x)0,当x0时,h″(x)0,

h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

h′(x)h′(0)=0,

h(x)单调递减,又h(0)=0,

当﹣1x0时,h(x)0,即f′(x)0,

当x0时,h(x)0,即f′(x)0,

f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

x=0是f(x)的极大值点,符合题意;

若﹣f780fc5753c6492db88cdc392c0a6c68.Pnga0,则h″(0)=1+6a0,h″(e1164e07b7b034898987e5a7f90e018c6.Png﹣1)=(2a﹣1)(1﹣eef20a03b75dd4c148746f9fc61aeec35.Png0,

h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0

当0xx0时,h″(x)0,h′(x)单调递增,

h′(x)h′(0)=0,即f′(x)0,

f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;

若a6a18834e881448969578bcfcbdf0d952.Png,则h″(0)=1+6a0,h″(035d4370464546db8534956af3b51177.Png﹣1)=(1﹣2a)e20,

h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1

当x1x0时,h″(x)0,h′(x)单调递减,

h′(x)h′(0)=0,h(x)单调递增,

h(x)h(0)=0,即f′(x)0,

f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.

综上,a=﹣9c2d3daebc6c458faaba951d6836d024.Png

【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与极值的计算,零点的存在性定理,属于难题.

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为21f61309df9f41e9a6760c57a15072a9.Png,(θ为参数),过点(0,﹣4ec75f18d70f44219f058d18cd947914.Png)且倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

 

【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程.

【分析】(1)O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α=3088c794b63b400f93dbc19885a35818.Png时,直线l的方程为x=0,成立;当α4c38dedc657943d9a6bb0e79dc2c8469.Png时,过点(0,﹣00dc495f9a9b445aab03d0a6ead60877.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+567aca525f8f443f85b3353e036efe49.Png,从而圆心O(0,0)到直线l的距离d=780735e9fe2e45e4a790c1a96588be91.Png1,进而求出92a0960a0e6f41e3b5385b545fbd7034.Pnged6c4ffaf3534687a22a75985b6e36f6.Png,由此能求出α的取值范围.

(2)设直线l的方程为x=m(y+1e03d37d83084785845e43e876e953cd.Png),联立9b08759f1df7422ebc1d758190ca52d0.Png,得(m2+1)y2+2d138d8cddb474537a920610bffdcf6c1.Png+2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.

【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为9f23a7b203ca464cbe147ffe1033313a.Png(θ为参数),

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,

当α=315b35df65014e69aa96447076ad107d.Png时,过点(0,﹣4443f2c7e1c64b32b8cdee1f906ebbb6.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;

当α28de15fe90fb476f872bcae37870f33f.Png时,过点(0,﹣8d21fbc001b342a5a0b9e67899930fec.Png)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣061b7f20f50246b79022f0cba8556cf5.Png

倾斜角为α的直线l与O交于A,B两点,

圆心O(0,0)到直线l的距离d=d2e35ddd1d3c4efd8adbc769fa548b89.Png1,

tan2α1,tanα1或tanα﹣1,

a89cf88b6bdc4e0ea3c636a3732d87d3.Png9f77da108eca4bee9a59edc7b727d349.Png

综上α的取值范围是(2d208e88dd00402fa8a418d3d7faf0fe.Png85d1a8a5c7fd45a788a5425697777911.Png).

(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+60cea30ceaa64ccbbc339196b9e05227.Png),

设A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3),

联立225a6c5298104d4c8cf627efa00f4a2b.Png,得(m2+1)y2+2604bf671ea9d482b82e72aecb959e1bb.Png+2m2﹣1=0,

113ff32036494147b305a63607c096cb.Png

407a44e87d3e48b4baa0c17ad71825f9.Png=﹣343b242ee48043839e56e1cc62e29721.Png+2e0395dec844a46a4af9a4fd79e9c2e24.Png

9643e70fd7244f37a0cace60c70023bd.Png=0b1d3d83d14c42b6b3562e37699e7388.Pngf605eecb85b043849d665a15a0678788.Png=﹣65dc3be6fcda4f3a9dacca1d7872a7c8.Png

AB中点P的轨迹的参数方程为31183cbf67f64c579d73ff07eb2c71a1.Png,(m为参数),(﹣1m1).

【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

 

[选修4-5:不等式选讲](10分)

23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.

6d5432df3d6948ff8c8e6d2320b69c29.Png

 

【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;5B:分段函数的应用.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用;59:不等式的解法及应用.

【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.

(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.

【解答】解:(1)当x0cc6aaa3322a41b1a97495a370630496.Png时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,

当﹣1655d5dda3224ee7a947b65bb3a46bad.Pngx1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,

当x1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,

则f(x)=b72a763467264888bfd56acbc3a64e09.Png对应的图象为:

画出y=f(x)的图象;

(2)当x[0,+∞)时,f(x)ax+b,

当x=0时,f(0)=20•a+b,b2,

当x0时,要使f(x)ax+b恒成立,

则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,

f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,

且各部分直线的斜率的最大值为3,

故当且仅当a3且b2时,不等式f(x)ax+b在[0,+∞)上成立,

即a+b的最小值为5.

cc8d6965a88a464098a0076cc0329a57.Png

4dd7bfdd8d844a2e98720ddfe116d2c2.Png

【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键.

来源: 四川省地方志工作办公室
责任编辑:何晓波
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