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2017年全国普通高考 理科数学试题及参考答案

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-20 10:00:14 浏览次数: 【字体:



2017年四川省高考数学试卷

(理科)(新课标Ⅲ)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则AB中元素的个数为(  )

A.3B.2 C.1 D.0 

2.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )

A.B.ebbc82e4d11c42c184624f8f47f17e91.Png C.8abf7f895cd64de6b1a70fe72a83f269.Png D.2 

3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

7e5586eb08ee4f39bbf2b05a39643357.Png

根据该折线图,下列结论错误的是(  )

根据该折线图,下列结论错误的是(  )

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

4.(5分)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为 (  )

A.﹣80B.﹣40 C.40 D.80 

5.(5分)已知双曲线C:3181b4dd50384514ae3fe8da70427aa5.Png85625ec5c63149bb93bf8d908d2df109.Png=1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=997dc3b415b243ef9947a639235013ab.Pngx,且与椭圆222d58e85aa04e3cb33ce142079e5b90.Png+49a74f763b14412eb79e138d27b72a70.Png=1有公共焦点,则C的方程为(  )

A.﹣=1B.0bbca21d16254e4690a3cdb51681045f.Png61a9afee28d24fda8109c8f07a5c9d53.Png=1 C.7c0a8312e4c0434a9ea23c0aa01fcaa1.Png62c5c84039864f46b2deb1bfeca4f466.Png=1 D.b1eb958aeb974751951221ff5c32370f.Png3397cbb9403c4b24b4069245e18491b7.Png=1 

6.(5分)设函数f(x)=cos(x+5ad2460e04b14435add41b3cda98f554.Png),则下列结论错误的是(  )

A.f(x)的一个周期为﹣2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x=

D.f(x)在(,π)单调递减

7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )

5a7a228fdc7d438ea30405432499859f.Png

A.5B.4 C.3 D.2 

8.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )

A.πB.8b6580702713442eac29e70c6f306d65.Png C.81823584f3fb4a92bc8fdf68b0a0eaad.Png D.0f923eb26f424fe7821365bcdf73a454.Png 

9.(5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )

A.﹣24B.﹣3 C.3 D.8 

10.(5分)已知椭圆C:c58513642eb542088f0c6f6d6b408323.Png=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )

A.B.5a465a248893428788171ad9052669d8.Png C.c13c21a601914db2983bec0ea7fa9e46.Png D.30f5816cad0b4a7180595517336fd19a.Png 

11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=(  )

A.﹣B.44eef8c7f8164fadb26506f9cfe74ec1.Png C.43708ee18ca2478288458e3b6e5ae380.Png D.1 

12.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若73edeaa142b644059125c0784f2aae22.Pngeb744b50e2544fd3bc6411bf555b35e4.Png+μb9cc3ebbb0004aa8b3f14cf8ac03e406.Png,则λ+μ的最大值为(  )

A.3B.24e9c54a8ee0c479a8ecb33ba28e8dc77.Png C.d5b27b15d5d24dba92bb4f374d0969c6.Png D.2 

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)若x,y满足约束条件0f8b49a7ea054421b659f6d963f1a369.Png,则z=3x﹣4y的最小值为     

14.(5分)设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,则a4=     

15.(5分)设函数f(x)=c594e8618bb74fb19822356fb23a4aff.Png,则满足f(x)+f(x﹣9fa2d68cc70a4ae8829cfada5803727c.Png1的x的取值范围是     

16.(5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

直线AB与a所成角的最小值为45°;

直线AB与a所成角的最小值为60°;

其中正确的是     .(填写所有正确结论的编号)

 

 

 

 

 

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。

17.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3b0ae43e64f34a66ba2e2402becc1d5f.PngcosA=0,a=2c21b54c3c8e444138b8891c92bd9c2a5.Png,b=2.

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.

 

 

 

 

 

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

 

 

 

 

19.(12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.

(1)证明:平面ACD平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.

c743da53c5814c358f81161cdf61f944.Png

 

 

20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明:坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.

 

 

 

 

 

21.(12分)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.

(1)若f(x)0,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+649e05d8c858420782dc43d54c0f425b.Png)(1+34350ce59c5044a6b56f67e7fe346503.Png)…(1+6c35df82b62f462eb20fc87a340794fe.Pngm,求m的最小值.

 

 

 

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为d2d24d004ac3426dba40030485c7b83d.Png,(t为参数),直线l2的参数方程为6d4aba96a4684144910b2a490f0d831b.Png,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣99c352a5bb444488b690ad145aa88443.Png=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

 

 

 

 

 

 

 

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|x+1||x﹣2|

(1)求不等式f(x)1的解集;

(2)若不等式f(x)x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.

 


 

2017年四川省高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则AB中元素的个数为(  )

A.3B.2 C.1 D.0 

 

【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有

【专题】5J:集合.

【分析】解不等式组求出元素的个数即可.

【解答】解:由ec627e06be2048148f82993e774884f8.Png,解得:96ecbcf7f99d4659ac87818259338fa4.Png9d97baddca504d459e5910130d2f0958.Png

AB的元素的个数是2个,

故选:B.

【点评】本题考查了集合的运算,是一道基础题.

 

2.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )

A.B.4bf0c68478f24c99b1d6fad052d77d51.Png C.53aad19a761b4384a3d28317aa5c7ce3.Png D.2 

 

【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;5N:数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.

【解答】解:(1+i)z=2i,(1﹣i)(1+i)z=2i(1﹣i),z=i+1.

|z|=f179383c322446e38f683f48cc9b3863.Png

故选:C.

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

 

3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

922cbea322e643c29759ccbc8c80b3ee.Png

根据该折线图,下列结论错误的是(  )

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

【考点】2K:命题的真假判断与应用;B9:频率分布折线图、密度曲线.菁优网版权所有

【专题】27:图表型;2A:探究型;5I:概率与统计.

【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,逐一分析给定四个结论的正误,可得答案.

【解答】解:由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:

月接待游客量逐月有增有减,故A错误;

年接待游客量逐年增加,故B正确;

各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确;

故选:A.

【点评】本题考查的知识点是数据的分析,命题的真假判断与应用,难度不大,属于基础题.

 

4.(5分)(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数为 (  )

A.﹣80B.﹣40 C.40 D.80 

 

【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;5P:二项式定理.

【分析】(2x﹣y)5的展开式的通项公式:Tr+1=310b5fc0c25b43c5abea866c279b0351.Png(2x)5﹣r(﹣y)r=25﹣r(﹣1)r7855e20e163747b382a92aa4e5a27fa4.Pngx5﹣ryr.令5﹣r=2,r=3,解得r=3.令5﹣r=3,r=2,解得r=2.即可得出.

【解答】解:(2x﹣y)5的展开式的通项公式:Tr+1=f47c0057c0074082b270e7bb4bb61602.Png(2x)5﹣r(﹣y)r=25﹣r(﹣1)rf8100296099949c395c6a99b4a6c98da.Pngx5﹣ryr

令5﹣r=2,r=3,解得r=3.

令5﹣r=3,r=2,解得r=2.

(x+y)(2x﹣y)5的展开式中的x3y3系数=22×(﹣1)31a0c1105c0024fd3aeabe891a8112285.Png+23×b03664f9560241bdaa18c9fc0e0334aa.Png=40.

故选:C.

【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

5.(5分)已知双曲线C:5367a5a95403473bb8295b84d45fb17e.Png4e6ae357da3b4107acb3ecb08a5f30c6.Png=1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=d7031ee3d244436bb5a61d8b05b34a4e.Pngx,且与椭圆bf2dad7effdc4a7283dc2411b8c1d9d6.Png+ed713575b5f743b1ade214d6b61e5f3a.Png=1有公共焦点,则C的方程为(  )

A.﹣=1B.d3df8e4596874de6af79c1c65b1bcdbb.Png6b1877add8c243d2873592d55f5639e5.Png=1 C.a2e0cd345d134f7f8c19074a7cd3467a.Png70d02d24625f4bbda3814efa4f2bce90.Png=1 D.5f058e039e21458e9d9ef67f7edc4ea7.Png7e610fa368d64b258432a3f4f3898240.Png=1 

 

【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程.

【解答】解:椭圆0124729a399d44cd8e7881a2231df116.Png+2881414ae09f4675858a7d947f6840e4.Png=1的焦点坐标(±3,0),

则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c=3,

双曲线C:bc9f59e095ab4eaaac1d18decabd8dd4.Png798daefdfe7644869bde8cc06df1fa12.Png=1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=7a5f1b9ef6e74e27bf34ad1156aa7c12.Pngx,

可得066a45d386f0414aa4b2ddcac442e5f6.Png,即063ed2b69f7b44cc80294bac8a068553.Png,可得b9eca767284a44fd827c4ad5eabb7fe5.Png=aa6e5241f74e4cb7a22dd063bf116838.Png,解得a=2,b=f962e9a0a29d4e1faae58cf7192cf79f.Png

所求的双曲线方程为:aeb35d69f5624d4a8f416597ed50d6de.Png61799d4468ac4345ad6ad160bae92406.Png=1.

故选:B.

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.

 

6.(5分)设函数f(x)=cos(x+52d131c84eb940abb6641a291e96edd6.Png),则下列结论错误的是(  )

A.f(x)的一个周期为﹣2π

B.y=f(x)的图象关于直线x=a03f5470df7840e9813761ace1a6f0e4.png对称

C.f(x+π)的一个零点为x=0b2ddac575a14b2597f2f17a718fca1b.png

D.f(x)在(71ec994c62154e418452e1d768106543.png,π)单调递减

 

【考点】H7:余弦函数的图象.菁优网版权所有

【专题】33:函数思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质.

【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.

【解答】解:A.函数的周期为2kπ,当k=﹣1时,周期T=﹣2π,故A正确,

B.当x=fe352c64b52d4fdc9f27034d0822540e.Png时,cos(x+6a2d7401e7b84a958d2bf801d8b461ab.Png)=cos(107f43a8ede249c0988ddc59942c0497.Png+e41523cc03b9496b80277e53033fa148.Png)=cosc63992ca76fe43859eb8e114c61755bb.Png=cos3π=﹣1为最小值,此时y=f(x)的图象关于直线x=315c5e6f03eb4756b41cad2d82bd2e24.Png对称,故B正确,

C当x=e1bf51104f204dc5a47970d68c5b461e.Png时,f(7575bde769244c1c83dc8d51141fb545.Png+π)=cos(815e40d893da468592162ba39253aace.Png+π+2e1096788b494754a0f905dfadb2b9de.Png)=cos5b0a38d60fad4fa18e9f16faace9c76c.Png=0,则f(x+π)的一个零点为x=7391db9e6bda4d32b6992e2082ecf7bc.Png,故C正确,

D.当c123023dd7654a3a9666603417b975a7.Pngxπ时,443cd94d145b4a929bc8e271d20f1ad7.Pngx+dd2ac99a45b04bdda45999ba064495d3.Pngce03b703881e40c3ab7c3b3141a1ebf9.Png,此时函数f(x)不是单调函数,故D错误,

故选:D.

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键.

 

7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )

42c19bc29f674083ab3d9fef5168269b.Png

A.5B.4 C.3 D.2 

 

【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;39:运动思想;49:综合法;5K:算法和程序框图.

【分析】通过模拟程序,可得到S的取值情况,进而可得结论.

【解答】解:由题可知初始值t=1,M=100,S=0,

要使输出S的值小于91,应满足“tN”,

则进入循环体,从而S=100,M=﹣10,t=2,

要使输出S的值小于91,应接着满足“tN”,

则进入循环体,从而S=90,M=1,t=3,

要使输出S的值小于91,应不满足“tN”,跳出循环体,

此时N的最小值为2,

故选:D.

【点评】本题考查程序框图,判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

 

8.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )

A.πB.1945e42be6044dcc8d5a913e82188d17.Png C.9d7a474108884c189b9733ec776091c5.Png D.5a980bef3b494d05b8dd9c5ca0f6c5fd.Png 

 

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LR:球内接多面体.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5Q:立体几何.

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=efd5580a34514cde9217e07acbeee20e.Png=d220f7688dd94dde932aa3af107f9091.Png,由此能求出该圆柱的体积.

【解答】解:圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,

该圆柱底面圆周半径r=49b4f20868a54cc5994c97853e3dd3ac.Png=924b4472500342a1950b6acb2b8ed5b1.Png

该圆柱的体积:V=Sh=e17cc2c583314087ad475a50c1f427d8.Png=c1931ecc567045c0bd0b848250431e9f.Png

故选:B.

e27693ddbaed4f9b97a219e2988ef99d.Png

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题.

 

9.(5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )

A.﹣24B.﹣3 C.3 D.8 

 

【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.

【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出{an}前6项的和.

【解答】解:等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,

43f5602147674e2fbac4fbef48acfbf4.Png

(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d0,

解得d=﹣2,

∴{an}前6项的和为65e5885f83bb49fda3c0101fb943e2da.Png=090360218ca04ba0b252ee5c1b9d6bda.Png=﹣24.

故选:A.

【点评】本题考查等差数列前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.

 

10.(5分)已知椭圆C:a8dd3c292613405c8df95746f4bd1a5f.Png=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )

A.B.dfb20c9350f540d8815c7e9a3d3dec6d.Png C.c6454b8f63c145e9873540ef5e222a9b.Png D.c2bfa241daa44cf39cd2089cb3e3310f.Png 

 

【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,可得原点到直线的距离4bd905ed6452420bb6a79374b734d3f2.Png=a,化简即可得出.

【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,

原点到直线的距离30d8c37fa7fb44758d9a599fced0503f.Png=a,化为:a2=3b2

椭圆C的离心率e=c59b9bab4f9b40a7b12cdc81595fc1ad.Png=b6c92837fb52469784dca72be8e7b424.Png=1787cd5e28d646c4910dfb9a817890ac.Png

故选:A.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=(  )

A.﹣B.26f6fe46a15843e7a13286c71d4ce2e0.Png C.d6b8b180379a4ff5b2b09dc8bb318b78.Png D.1 

 

【考点】52:函数零点的判定定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.

【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+4f6c961379da478ca84fd9372fa59376.Png)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a0、a0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.

【解答】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+79a2f6b6db784f1288c4dcac57701ef2.Png)=0,

所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+226b47d260674d4c9f17eb98ed630554.Png)有唯一解,

等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+1099bbd86d6746bcac44ce6e671988df.Png)的图象只有一个交点.

当a=0时,f(x)=x2﹣2x﹣1,此时有两个零点,矛盾;

当a0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

且y=a(ex﹣1+b331aeb8fe994772937cfbda5d459561.Png)在(﹣,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+8537bd6e9cd64ff79a91cf985657eb06.Png)的图象的最高点为B(1,2a),

由于2a01,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+262532dc127245549dd7e3c7f0d99da9.Png)的图象有两个交点,矛盾;

当a0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

且y=a(ex﹣1+bb06460633014fdfb8f3447bd92ec755.Png)在(﹣,1)上递减、在(1,+∞)上递增,

所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+9acc563f85c34b2fa4fc2f190b9312a4.Png)的图象的最低点为B(1,2a),

由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=21f177ef51b24460ac96f132f9b6a729.Png,符合条件;

综上所述,a=4bcf35ed892d48258bdecef0e7b5906f.Png

故选:C.

【点评】本题考查函数零点的判定定理,考查函数的单调性,考查运算求解能力,考查数形结合能力,考查转化与化归思想,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题.

 

12.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若c94ff1530cc244d098495a056e64c8e8.Png4f4dd97016ba49529fe6b85444dae099.Png+μ4cd3a466675f467b878112ebebd104e6.Png,则λ+μ的最大值为(  )

A.3B.22ceaf2be9e424b5681c1c5f069e93278.Png C.f65d765e068a426a9560d9eb63d09955.Png D.2 

 

【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆.

【分析】如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(2bf30012d8b44a8a87d7f624b7abe028.Pngcosθ+1,37b594acd04c4538911002d50c35d229.Pngsinθ+2),根据843f970782fe4608bea5938ea183a10c.Png1b6cf9b981814ec19c9028fe725c04df.Png+μa0de64dc22ce4b9b9147c839cb67d026.Png,求出λ,μ,根据三角函数的性质即可求出最值.

【解答】解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,

则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),

动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,

设圆的半径为r,

BC=2,CD=1,

BD=4ff603c4545e4b1d8052437079f36fbe.Png=12ac4ac54999458fa6876ea3dfc27a80.Png

e295c7c3dcc44bf09454757ff73a4f65.PngBC•CD=3e998d4a20fd4e5a932f27346b9358d0.PngBD•r,

r=6e57bbc318634376887aff179b7184d6.Png

圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=02d5f47894eb4732a4b2145724ed46cc.Png

设点P的坐标为(28a290180703493b9bc527fabba29365.Pngcosθ+1,37fe3485216a4664a8edf6eccd17de25.Pngsinθ+2),

8f619c820e9140aea74b6a11326c2e40.Png28f55142f3404a2ca6a67c44dc036f74.Png+μac2712c204d948f59e35423360dc07dc.Png

4a1c1a9c2db549b5b4a576001aa6fd0f.Pngcosθ+1,ef8958123542417fb9656010fbae3841.Pngsinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),

2d7a960432d14993a5f4d67e7bc9d557.Pngcosθ+1=λ,045b970e7e0d4983a5c259eea7228885.Pngsinθ+2=2μ,

λ+μ=de1590de851e4230986081fbb90ea5ea.Pngcosθ+00cba0c0d3b143e1987cf64c1a88193f.Pngsinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,

﹣1sin(θ+φ)1,

1λ+μ3,

故λ+μ的最大值为3,

故选:A.

879638f7785f47f7985d2f4b941039e9.Png

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点P的坐标,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)若x,y满足约束条件0ddb71297d334028a6810be5115e9671.Png,则z=3x﹣4y的最小值为 ﹣1 

 

【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5T:不等式.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数z=3x﹣4y的最小值.

【解答】解:由z=3x﹣4y,得y=a9708a216c4b473ea3ac764a2dba2cf6.Pngx﹣94ef2dd4e4774eae8620778dfea92e56.Png,作出不等式对应的可行域(阴影部分),

平移直线y=9138536cc42b47729bf2a2d9d92c09c2.Pngx﹣ec81729cae0d445cb0bec20d19009a13.Png,由平移可知当直线y=4521a5e6f034489a8af35a0bea4e8f53.Pngx﹣fdfd2344e7874028af10fc275fb15ddd.Png

经过点B(1,1)时,直线y=a2e22c7ce02d490fa5c9a9ee7d9cd1f3.Pngx﹣04592bee3d2e4d7ba445e40c69de0c98.Png的截距最大,此时z取得最小值,

将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1,

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1.

故答案为:﹣1.

b17f190fa5cf4742a5db1bec60e4b0cb.Png

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

 

14.(5分)设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,则a4= ﹣8 

 

【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.

【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,可得:a1(1+q)=﹣1,a1(1﹣q2)=﹣3,解出即可得出.

【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,

a1(1+q)=﹣1,a1(1﹣q2)=﹣3,

解得a1=1,q=﹣2.

则a4=(﹣2)3=﹣8.

故答案为:﹣8.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

15.(5分)设函数f(x)=d054746d838f424da2a95c3158445627.Png,则满足f(x)+f(x﹣a0e8ef339b584709b5e5fed184d5289c.Png1的x的取值范围是 (0b478de0bee343199ab4bd0c8d4a9f13.Png+∞) 

 

【考点】3T:函数的值.菁优网版权所有

【专题】32:分类讨论;4R:转化法;51:函数的性质及应用.

【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围,进行求解即可.

【解答】解:若x0,则x﹣9a24ad57d9b14c189dcf105d0cfa0c17.Png17d56da8f1fc46ad87ebf7f41f3f8d65.Png

则f(x)+f(x﹣5a9832725c0941a99ae47d74f5a852d5.Png1等价为x+1+x﹣651560c58a5e43aeb22a883d0e91e1fe.Png+11,即2x22d978626d9445f383fc58fd41ed9103.Png,则x80926ef6421742b8a0785fc55d69f3e2.Png

此时001e297d2f97435f834dbc42f3cae53b.Pngx0,

当x0时,f(x)=2x1,x﹣570637c5843440e9a81e5df4ed6ee579.Pnga9421a9bf2f744b99ae041e45c995a38.Png

当x﹣01029ea45db3459cb9cff6ef23d64d4c.Png0即x673d90f3757a4d4b8dc0446c526a3494.Png时,满足f(x)+f(x﹣137ae251139f40ce95ff6017fdb06a64.Png1恒成立,

当0x﹣0760a6d14fbe4a55b743c314aaadb0f4.Png425a65a5a95d44e6a59dbe42d9b76dbc.Png,即d3bab09eef0f4678b81f12053ead4a18.Pngx0时,f(x﹣e86ed881cf964cfb810a2fd9786f6ad6.Png)=x﹣bb1cd0e1202a4f53a83e3f7e936f8695.Png+1=x+763896d120564dd998ce6780a02392bd.Png1ef4a70a8ded44bb8a9639d94d396057.Png

此时f(x)+f(x﹣9d95be82e7a343759ad572280aba03c2.Png1恒成立,

综上xc7405bdd8aee40c3bd2b8f469b39909d.Png

故答案为:(35cf813ac4864961869be762a116a37b.Png+∞).

【点评】本题主要考查不等式的求解,结合分段函数的不等式,利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键.

 

16.(5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

直线AB与a所成角的最小值为45°;

直线AB与a所成角的最小值为60°;

其中正确的是 ②③ .(填写所有正确结论的编号)

 

【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离.

【分析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,构建如图所示的边长为1的正方体,|AC|=1,|AB|=b8e69d6951f946fe91cf6eb628f05aea.Png,斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.

【解答】解:由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,

不妨设图中所示正方体边长为1,

|AC|=1,|AB|=5eb1eb29ea7d4d9884f4c0a378a2bd3f.Png,\

斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,

B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,

以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,

则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量946ecf82d687450aa4dad959ae61ed92.Png=(0,1,0),|3fa78bf65a3342209d49e804b72f865d.Png|=1,

直线b的方向单位向量0f315149e6934d5f99ff6076aa225d84.Png=(1,0,0),|56cbc975c94d465b8f2d23a2b232d297.Png|=1,

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),

其中θ为B′C与CD的夹角,θ[0,2π),

AB′在运动过程中的向量,ea5fee6b8d1f464dbca89b9588ffbd56.Png=(cosθ,sinθ,﹣1),|528e5ad823fe4777968fb734ecc72a3b.Png|=cbe47ef8a8c24643a78dd6d30a207ae3.Png

79ca06ceacff44bf85be472f4c8e96fd.Png1cba8abb955f4d4b823229c15a9eee5b.Png所成夹角为α[0,12ccf934bf2e466e9e30149d5821b96d.Png]

则cosα=890d54977a094864987da126d8ea1a01.Png=84e52e5f4714496eb04a66c021ebabab.Png|sinθ|[0,5abacd853b2c4b0087d9eb4e3320e45f.Png]

α[3a8477f655c64553ba5c0b230cc7901f.Png1d94095f09044146b4c54a367a200b5a.Png]∴③正确,错误.

9a153c7f415b4132b89c431805f270cc.Png155960577d564a47a7e5a826d28163ae.Png所成夹角为β[0,378661c05b554feeaf057bd76fca364c.Png]

cosβ=743ae65c08094ca3b27f541dd72eafd6.Png=67cf4df11c1b428daabb5d9064ed9375.Png=e82c0753736f4babb20bedde3a43f086.Png|cosθ|

07cca7588c54410b9d323d86d6db45f1.Png951a6bda5b954f079302ef8be8ced1e1.Png夹角为60°时,即α=bdc095c829864ce98c5e5240d5958c8d.Png

|sinθ|=1f6c83c58162429f9ff2f8e5126a0f82.Png=c05f06f329d24ba4bbe026b032943c83.Png=fb0fbe8d4d6049859f07d8900e0ca518.Png

cos2θ+sin2θ=1,cosβ=1911c9a183de4a6fbb235e6f042fdc6a.Png|cosθ|=1a1153b425cf429cac54c3dcc7cd9501.Png

β[0,a9beeb568a054273a592b087c3345f30.Png]β=d029936a35f646d2844f21528f31f9e9.Png,此时5cbbafb8358d44c280be4e1a308989a3.Pnga5d047b130cd4b70945bc75d2cede753.Png的夹角为60°,

∴②正确,错误.

故答案为:②③

34455d87b48d4bd3a4516912eb622979.Png

【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.

 

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。

17.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+6e0a97b83daa419da0413d5f138a29b4.PngcosA=0,a=2077f1e220c034da796c49f9f9ede0d40.Png,b=2.

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.

 

【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;58:解三角形.

【分析】(1)先根据同角的三角函数的关系求出A,再根据余弦定理即可求出,

(2)先根据夹角求出cosC,求出CD的长,得到SABD=d5a8fa18fed040e98f58148b353cfe36.PngSABC

【解答】解:(1)sinA+1c16e6749acd4de2ab3a1c16045ed5c5.PngcosA=0,

tanA=c23524496b484149ae54b5fe3b7766da.Png

0Aπ,

A=2a14ba37303046c78130103cecd4a1d0.Png

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA,

即28=4+c2﹣2×2c×(﹣a48622006e9c44d39d0a6bf84bb374f8.Png),

即c2+2c﹣24=0,

解得c=﹣6(舍去)或c=4,

故c=4.

(2)c2=b2+a2﹣2abcosC,

16=28+4﹣2×23405cf9cad9c445499e47b6e2a13659d.Png×2×cosC,

cosC=12c74b6a08e14188900627b2bd01bd5e.Png

CD=5af9ee06016141d08d32e85990deb34b.Png=b4c55feaeaa8425389da36a7a16dac67.Png=506cb93e0afc4c378479a5f5dc4f7c3b.Png

CD=f99b7cbc7118417dbfc777a23958b981.PngBC

SABC=9d8ff3ec91084458ad3af185e307fe46.PngAB•AC•sinBAC=3c574bf6dd3e4d358ff5ae4a69b4abcf.Png×4×2×8830cdccfcc24475a73aff7f20d11171.Png=212e32613ccf24e82ae747b73ff4fb9f6.Png

SABD=df870d6293fe41bd848fa1b7a0608498.PngSABC=36aaed85b34a4bd880953e3c0693e26e.Png

8c871fa0c1e247b2aac4e69246a688fa.Png

【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式,以及解三角形的问题,属于中档题

 

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

 

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;32:分类讨论;49:综合法;5I:概率与统计.

【分析】(1)由题意知X的可能取值为200,300,500,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.

(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,只需考虑200n500,根据300n500和200n300分类讨论经,能得到当n=300时,EY最大值为520元.

【解答】解:(1)由题意知X的可能取值为200,300,500,

P(X=200)=8b2be4a0db754bd0a2b10e9e819d0d9e.Png=0.2,

P(X=300)=a373afa4d49847b0adb61d2a69dbad6b.Png

P(X=500)=11419d2080984f49b40583e26f07668f.Png=0.4,

X的分布列为:

X

200

300

500

P

0.2

0.4

0.4

(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,

只需考虑200n500,

当300n500时,

若最高气温不低于25,则Y=6n﹣4n=2n;

若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n﹣300)﹣4n=1200﹣2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n﹣200)﹣4n=800﹣2n,

EY=2n×0.4+(1200﹣2n)×0.4+(800﹣2n)×0.2=640﹣0.4n,

当200n300时,

若最高气温不低于20,则Y=6n﹣4n=2n,

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n﹣200)﹣4n=800﹣2n,

EY=2n×(0.4+0.4)+(800﹣2n)×0.2=160+1.2n.

n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法,考查数学期望的最大值的求法,考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想,是中档题.

 

19.(12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.

(1)证明:平面ACD平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.

8b5dde5ec0d7485584a78013ac0654b7.Png

 

【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.

【分析】(1)如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.ABC是等边三角形,可得OBAC.由已知可得:ABD≌△CBD,AD=CD.ACD是直角三角形,可得AC是斜边,ADC=90°.可得DO=b63462b5474143f6bcd1e7cb7e4fdceb.PngAC.利用DO2+BO2=AB2=BD2.可得OBOD.利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.

(2)设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则58f751974dca408187bb8053c0aa89ac.Png=a931729b131a4cebbb4ab1a4083adad7.Png.根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,可得d579d657b9e84a749455a8cbe9e147df.Png=50a5307d5b8b4969901e6c815f452c80.Png=2bf8832a1da74a2bb984e95d35a955c2.Png=1,即点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.利用法向量的夹角公式即可得出.

【解答】(1)证明:如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.

∵△ABC是等边三角形,OBAC.

ABD与CBD中,AB=BD=BC,ABD=CBD,

∴△ABD≌△CBD,AD=CD.

∵△ACD是直角三角形,

AC是斜边,∴∠ADC=90°.

DO=b300948081f2453fadc6d4fa5ce49e17.PngAC.

DO2+BO2=AB2=BD2

∴∠BOD=90°.

OBOD.

又DOAC=O,OB平面ACD.

又OB平面ABC,

平面ACD平面ABC.

(2)解:设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则a887f26e525c4ff2a0091ef498d63265.Png=a753301b561f4550996677194f7c64e0.Png

平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,

9d56449761fc438c8150b4e6cf025a47.Png=25aa445423b14b35a1e06f537c966e30.Png=88901a1575554ef1839690c1aea23264.Png=1.

点E是BD的中点.

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.

则O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,1dbb1dade2e64397889b1440799591fc.Png,0),E2afbd2f21e554b7882d6fe1464d8b801.Png

c813fd2e8fb74ada8d1de3efd6249a77.Png=(﹣1,0,1),df594cd2dcdc4765bb03e19479e196ce.Png=9b1bc1c5cbe24b28847c52d34d3ae8a1.Png2c0c8e0dd9534ff8b19e02e834ab77f6.Png=(﹣2,0,0).

设平面ADE的法向量为ea42909b3707409c9992b088cbf56a94.Png=(x,y,z),则90f8b9fa44b44f95a52a6a15473c2c22.Png,即0bff48c41ebe43d585c3b6a576890c3c.Png,取106dda29d93f4119bf34208aa9187fbf.Png=1c7b790fff5b4e529cdb87c68a509e4d.Png

同理可得:平面ACE的法向量为f945587ba5514a388a7cc23646a22dbb.Png=(0,1,ba4ace343f524997a20a833ab8f2b712.Png).

cosfc379bc5ed04454eab89164d34cb2811.Png=b9c9eb3dbb7c46798e264242d174ac17.Png=169975d35dc84f608612ea8609cf6754.Png=﹣376fdacb12434b2682bebb15bac79e3d.Png

二面角D﹣AE﹣C的余弦值为2802e8f7e2814ea59ccde82af93b8f89.Png

7bc3fa43141b4f2591684c91b66b5b66.Png

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明:坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.

 

【考点】KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有

【专题】35:转化思想;41:向量法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)方法一:分类讨论,当直线斜率不存在时,求得A和B的坐标,由07d28362bbc1465587c36881ccda6154.Png09e46e6b5d8e4cd3bdb13332fcc9902c.Png=0,则坐标原点O在圆M上;当直线l斜率存在,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的可得7dfb01c1188b4bf79172382e1b2f6bab.Png2e5f851c20ae414c8133f3a61d578566.Png=0,则坐标原点O在圆M上;

方法二:设直线l的方程x=my+2,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得3b2a171577d846ee8ec399fd070f4a92.Png80226b6605974501a9ecc5d916e22107.Png=0,则坐标原点O在圆M上;

(2)由题意可知:a526df70a2cd409eb7dcda0ff6417d30.Pngacbbb882158a447bb45710b3ebbbc7fa.Png=0,根据向量数量积的坐标运算,即可求得k的值,求得M点坐标,则半径r=丨MP丨,即可求得圆的方程.

【解答】解:方法一:证明:(1)当直线l的斜率不存在时,则A(2,2),B(2,﹣2),

09195b06186b4b1aad6f62c9b579a0e3.Png=(2,2),d4f3a9681474458fba94ec87ec3a4024.Png=(2,﹣2),则8c1d3ce8f38b4802848794888e957c89.Png062336a0104044b9b192c4a222560735.Png=0,

78412c8003ca45f49cd770d0e66befee.Png9fedf753a08949d9bbe83ac552d3260d.Png

则坐标原点O在圆M上;

当直线l的斜率存在,设直线l的方程y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),

32affe033d71488f9c09cfa4586db3de.Png,整理得:k2x2﹣(4k2+2)x+4k2=0,

则x1x2=4,4x1x2=y12y22=(y1y22,由y1y20,

则y1y2=﹣4,

f3e78e833da54cfd9709615d213957bd.Png401f02f56e704554acf78fa8a5ac7b10.Png=x1x2+y1y2=0,

d426b905cd154bbdb6437c6e8084e5df.Png1433584b9ee6424bb87c4ca698108b52.Png,则坐标原点O在圆M上,

综上可知:坐标原点O在圆M上;

方法二:设直线l的方程x=my+2,

3e2a82f31ce342469b5c169e2dcaec91.Png,整理得:y2﹣2my﹣4=0,A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1y2=﹣4,

则(y1y22=4x1x2,则x1x2=4,则5da88a033c1c4df9970a0aba07ee755d.Png41a14b40b0dc4bd0a40037aecd70a14d.Png=x1x2+y1y2=0,

1ab1fc75dd924401aa79b61e59c39cb7.Png35e95e5ca7804f21981e359d5833f537.Png,则坐标原点O在圆M上,

坐标原点O在圆M上;

(2)由(1)可知:x1x2=4,x1+x2=427bfffd22a848ef88254c12f143de96.Png,y1+y2=d8c25a0782814c519f2fb34e1d6696f7.Png,y1y2=﹣4,

圆M过点P(4,﹣2),则5e8fa51eff594c4481852097ff09528e.Png=(4﹣x1,﹣2﹣y1),b762ca76e40f41fb901faf16e4c3982b.Png=(4﹣x2,﹣2﹣y2),

67b5a883f6a348be8172f95396ee2847.Pngc96f4ff502154b84bcd98ee0625f40d8.Png=0,则(4﹣x1)(4﹣x2+(﹣2﹣y1)(﹣2﹣y2)=0,

整理得:k2+k﹣2=0,解得:k=﹣2,k=1,

当k=﹣2时,直线l的方程为y=﹣2x+4,

则x1+x2=062be86cbffb46f99a40dfd5ec6163bb.Png,y1+y2=﹣1,

则M(f70c9e0115304050aefad66c4cd6d665.Png,﹣1a4275e0f8684b76bd7a0b0e04b33f00.Png),半径为r=丨MP丨=16a7e9130a87400398fb5c6ef33e6b52.Png=a79dabc9b161479abcd179624eda5dd2.Png

圆M的方程(x﹣86544c0ab50045429c3dc3d8792fa062.Png2+(y+759b63f8e923448faa7b559fa6f2a56a.Png2=5383f4e635294c2496afedaf327bf1b4.Png

当直线斜率k=1时,直线l的方程为y=x﹣2,

同理求得M(3,1),则半径为r=丨MP丨=e6f89e0222af45c68ae7a1e8e22820da.Png

圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10,

综上可知:直线l的方程为y=﹣2x+4,圆M的方程(x﹣f6be9a65fbb34db28da08b533cd30947.Png2+(y+c84bab9e1cc44ac8ae744ce0ebc0dfb3.Png2=dfe3a063c7604b20b65884f0bcebe93e.Png

或直线l的方程为y=x﹣2,圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10.

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题.

 

21.(12分)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.

(1)若f(x)0,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+0a723952aded4f84ae8b408b4356327d.Png)(1+75c99dad9cde4a56902c9e79b05eda65.Png)…(1+719f8c69cf564c15a615e18a67615fda.Pngm,求m的最小值.

 

【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;32:分类讨论;49:综合法;53:导数的综合应用.

【分析】(1)通过对函数f(x)=x﹣1﹣alnx(x0)求导,分a0、a0两种情况考虑导函数f′(x)与0的大小关系可得结论;

(2)通过(1)可知lnxx﹣1,进而取特殊值可知ln(1+6da1eb220c1a40be95d4f89e38aed78d.Pnge992938f7e754efea1059ea37efac7f2.Png,kN*.一方面利用等比数列的求和公式放缩可知(1+967077775aab43d78f6e9568b581dcad.Png)(1+a081be6b414e4149a55701a34a00af4f.Png)…(1+52db6bdc862c460c9b5cd58e42eb4d1c.Pnge,另一方面可知(1+b668989b067948b984eeaa554d59c87e.Png)(1+2f3e8b814fac470ea480919b3c92d0f2.Png)…(1+181d25fa9377401e81653e4d0a1b68b1.Png2,从而当n3时,(1+dcd697d71f464802b5898640b7e22546.Png)(1+e0c66d69077d48469ef65b108abaf595.Png)…(1+c8675688047f484d94aaac11bc7c80af.Png(2,e),比较可得结论.

【解答】解:(1)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x0,

所以f′(x)=1﹣eeb3d6e475ca4e4d8b229b79e354614a.Png=d9271f66cf5f4f5dbcf5be42bbc8c814.Png,且f(1)=0.

所以当a0时f′(x)0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,这与f(x)0矛盾;

当a0时令f′(x)=0,解得x=a,

所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),

若a1,则f(a)f(1)=0,从而与f(x)0矛盾;

所以a=1;

(2)由(1)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx0,即lnxx﹣1,

所以ln(x+1)x当且仅当x=0时取等号,

所以ln(1+8b753d14959e42da943d63a661235d43.Png09173c1197aa4f4c85695b095fe0b505.Png,kN*

ln(1+bc5004515c4d45ecb317a5fc537300a0.Png+ln(1+e9329026050b42aaa81535375b808d35.Png++ln(1+36b8b03d5e6a4f10834c93d9f7c9e63c.Png9d3123b88241405996c7bc4c0475382a.Png+b0fd9858ce3f4487a5cf6eb679cea06d.Png++6920c86755074234a3541d7c5c6e76da.Png=1﹣86ed5b63d15e4c238c63ccde527d92e4.Png1,

即(1+5ba02fe5e8294961bb15b10dc0bda3d7.Png)(1+c8052b67a973426fb747ad724c3b9d51.Png)…(1+30652557e61b4ac1829209d06cd63468.Pnge;

因为m为整数,且对于任意正整数n,(1+0fe8f3f0fec442e68d5badf68d094101.Png)(1+65d67c46eb234cb2b9811044f5df489a.Png)…(1+e527a2d0f28d4a15a2ce442956ec423e.Pngm成立,

当n=3时,不等式左边大于2,

所以m的最小值为3.

【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题,考查分类讨论的思想,考查转化与化归思想,考查运算求解能力,考查等比数列的求和公式,考查放缩法,注意解题方法的积累,属于难题.

 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为9885632cde6443a69c15e8b4a29ece07.Png,(t为参数),直线l2的参数方程为4b793dfe83844414a8e07a2db75f135f.Png,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣91a128bbe36d43df8516425c819068e9.Png=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

 

【考点】QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有

【专题】34:方程思想;4Q:参数法;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.

【分析】解:(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k(x﹣2)与x=﹣2+ky;联立①②,消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4;

(2)将l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣541091d5ce574bbca0385671e1966175.Png=0化为普通方程:x+y﹣5800d6050ff34afba88eb8d73e5f852e.Png=0,再与曲线C的方程联立,可得49033cec8ec84780b75cab436fa4fd57.Png,即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=4d358a2d7e174eeab753acaa05bfb0b8.Png

【解答】解:(1)直线l1的参数方程为c348b1a2b4a44c52971a55a93763120b.Png,(t为参数),

消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)

又直线l2的参数方程为42e9333f0df8405b8b8cbf081816e067.Png,(m为参数),

同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky

联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4(x2且y0);

(2)l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣90d05917e3924f93af91b3759e628842.Png=0,

其普通方程为:x+y﹣27054015b5d14e3fa8dae923a088dba3.Png=0,

联立fc4841ffea2a41069d491106a4bb41f2.Png得:98da85edf11e429594bb676a0807781d.Png

ρ2=x2+y2=7da6748f106a4d669e350f0414a6d244.Png+c8245950df304a199a62a7eacb42a9ac.Png=5.

l3与C的交点M的极径为ρ=fde85c81dead4fecb503bf5cd7bd0159.Png

【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程,考查函数与方程思想与等价转化思想的运用,属于中档题.

 

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|x+1||x﹣2|

(1)求不等式f(x)1的解集;

(2)若不等式f(x)x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.

 

【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有

【专题】32:分类讨论;33:函数思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.

【分析】(1)由于f(x)=|x+1||x﹣2|=b46058df975645ea8dd54eab75832041.Png,解不等式f(x)1可分﹣1x2与x2两类讨论即可解得不等式f(x)1的解集;

(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x1、﹣1x2、x2三类讨论,可求得g(x)max=ee01209118aa4b2d9ed6e0766a18123e.Png,从而可得m的取值范围.

【解答】解:(1)f(x)=|x+1||x﹣2|=0bcb6dae61b846008903b36d4924a205.Png,f(x)1,

当﹣1x2时,2x﹣11,解得1x2;

当x2时,31恒成立,故x2;

综上,不等式f(x)1的解集为{x|x1}

(2)原式等价于存在xR使得f(x)﹣x2+xm成立,

即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.

由(1)知,g(x)=eaa64fe973394a759dc97a616cdcfde8.Png

当x﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=e05698eabb854d50aabab7e5c45aa808.Png﹣1,

g(x)g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;

当﹣1x2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=463df243e19647dbaa8433e0dad5b2e3.Png(﹣1,2),

g(x)g(aede29a680204a31b6a53e3376b94623.Png)=﹣35251c9f325d4c2ebd4bc6c5ba3ed759.Png+44137307bae7467687dc897b6038159d.Png﹣1=d9032f805f9b483c83281ec04295d34b.Png

当x2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=2d3b8fc5ea284a15b7e1d840c1e49d1e.Png2,

g(x)g(2)=﹣4+2+3=1;

综上,g(x)max=93e6bb2658b049518d06f3fb0f391f92.Png

m的取值范围为(﹣3b7357350a8240a8b93464e70bfc8954.Png]

【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.

来源: 四川省地方志工作办公室
责任编辑:何晓波
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